Restklassen lösen mit Tafel

Question

Aufgabe:

1)Bestimmen Sie die Restklasse von 257²⁷¹ mod 379

2)Gegeben Z8 welche Restklassen bilden eine multiplikativen Gruppen und stellen sie die zugehörige Erzeugendentafel Elemente an
Problem/Ansatz:

ich weiß nicht wie ich dass lösen kann

für die zweite Frage habe ich schon die Erzeugendentafel erstellt aber ich weiß nicht was mir in der  Tafel  für meine Lösung helfen kann.

für Ihre Hilfe

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Modulo berechnen mit Restklasse

Stichworte: restklassen

Aufgabe:

1)Bestimmen Sie die Restklasse von 257^{271 mod 379}

Problem/Ansatz:

wie löst man das bitte

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Nicht schön, aber Funktioniert. Wenn man sich ein kleines Computerprogramm schreibt sogar recht gut.

257^271 mod 379
257 * 257^270 mod 379
257 * 66049^135 mod 379
257 * 103^135 mod 379
257 * 103 * 103^134 mod 379
257 * 103 * 10609^67 mod 379
257 * 103 * 376^67 mod 379
257 * 103 * 376 * 376^66 mod 379
257 * 103 * 376 * 141376^33 mod 379
257 * 103 * 376 * 9^33 mod 379
257 * 103 * 376 * 9 * 9^32 mod 379
257 * 103 * 376 * 9 * 81^16 mod 379
257 * 103 * 376 * 9 * 6561^8 mod 379
257 * 103 * 376 * 9 * 118^8 mod 379
257 * 103 * 376 * 9 * 13924^4 mod 379
257 * 103 * 376 * 9 * 280^4 mod 379
257 * 103 * 376 * 9 * 78400^2 mod 379
257 * 103 * 376 * 9 * 326^2 mod 379
257 * 103 * 376 * 9 * 106276 mod 379
257 * 103 * 376 * 9 * 156 mod 379
26471 * 376 * 9 * 156 mod 379
320 * 376 * 9 * 156 mod 379
120320 * 9 * 156 mod 379
177 * 9 * 156 mod 379
1593 * 156 mod 379
77 * 156 mod 379
12012 mod 379
263 mod 379
263

Was auffällt sind das die Zahlen 257, 271, 379 Primzahlen sind. Das könnte ja auf den Fermat oder Satz von Euler hindeuten. Aber irgendwie sehe ich grade auch nicht wie.

Meine Antwort oben scheint aber schon richtig zu sein. Wolframalpha bestätigt das.

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Danke für Ihre Antwort.Aber ich habe noch eine Frage.

wie kommen sie zu 103?

mfg

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66049 mod 379 = 103

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ok !

danke schön

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sollten die Exponenten nur durch 2 geteilt werden oder?

Bespiel anstatt 135-1/2

135/3 benutzen

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Ich teile die Exponenten nur durch 2.

Das Problem ist ja das du die Basis hoch k nehmen musst wenn du den Exponenten durch k teilst.

Und aus Übersichtsgründen nehme ich hier nur k = 2.

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257271 mod 379
257 * 257270 mod 379
257 * 66049135 mod 379
257 * 103135 mod 379
257 * 103 * 103134 mod 379
257 * 103 * 1060967 mod 379
257 * 103 * 37667 mod 379
257 * 103 * 376 * 37666 mod 379
257 * 103 * 376 * 14137633 mod 379
257 * 103 * 376 * 933 mod 379
257 * 103 * 376 * 9 * 932 mod 379
257 * 103 * 376 * 9 * 8116 mod 379
257 * 103 * 376 * 9 * 65618 mod 379
257 * 103 * 376 * 9 * 1188 mod 379
257 * 103 * 376 * 9 * 139244 mod 379
257 * 103 * 376 * 9 * 2804 mod 379
257 * 103 * 376 * 9 * 784002 mod 379
257 * 103 * 376 * 9 * 3262 mod 379
257 * 103 * 376 * 9 * 106276 mod 379
257 * 103 * 376 * 9 * 156 mod 379
26471 * 376 * 9 * 156 mod 379
320 * 376 * 9 * 156 mod 379
120320 * 9 * 156 mod 379
177 * 9 * 156 mod 379
1593 * 156 mod 379
77 * 156 mod 379
12012 mod 379
263 mod 379
263

ab die Rote Farbe verstehe ich nicht mehr die Rechnung denn 81mod379 ist gleich was anders

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257 * 103 * 376 * 9 * 81^16 mod 379

81 mod 379 = 81

Daher teile ich den Exponenten nochmal durch 2 und quadriere dafür die Basis

257 * 103 * 376 * 9 * (81^2)^8 mod 379

257 * 103 * 376 * 9 * 6561^8 mod 379

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ok!

Danke noch einmal

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könnte ich ein Paar Übungen von ihnen erhalten, um das zu meistern

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Eigentlich nimmst du dieses Verfahren wenn alle Stricke reißen. Daher solltest du bei der Besprechung dieser Aufgabe genau aufpassen, welchen Kniff man beachten kann den wir hier verpennt haben.

Am besten gibst du dann hier Bescheid damit alle davon Lernen können.

Da du dieses auch Anwenden kannst wenn du mit dem Satz von Euler oder Fermat rechnen kannst kannst du dir da auch selber Übungsaufgaben heraussuchen.

Wie lautet die letzte Dezimalziffer von 7^222 ?

Berechnen das ruhig mal auf verschiedene Weeisen.

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\( 257^{271} \) ≡263 mod 379 weil

271=2*3*3*3*5+1

\( 257^{2} \) ≡103 mod 379

\( 103^{3} \) ≡70 mod 379

\( 70^{3} \) ≡5 mod 379

\( 5^{3} \) ≡ 125 mod 379

\( 125^{5} \) ≡119 mod 379

119*257 ≡ 263 mod 379

hatte leider keine bessere Idee.

geht vermutlich einfacher, doch ich kann es nicht.

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Richtig.

Wobei man 125^5 mod 379 nicht so einfach Handschriftlich bestimmen kann. Und wenn man einen einfachen Taschenrechner benutzt dann zeigt der 125^5 auch nur in wissenschaftlicher Notation an.

Das kommt also darauf an ab wann man den Taschenrechner und oder PC zur Modulorechnung einsetzt.

Aber der Rest ist geschenkt, weil die Potenzen zum Glück recht klein bleiben.

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Ich habe mit dem Handy (Samsung) gerechnet, da ging es.

Answer 1

also bei der 1 hab ich grad nichts, aber bei der 2 kann man auf jeden fall die Elemente in der multiplikativen Gruppe finden, hierfür schreibt man sich sich die Erzeugendentafel auf und schaut wo man eine 1 (das neutrale Element) findet, da eine Gruppe ja die Eigenschaft besitzt, dass jedes Element ein Inverses besitzt. Man sieht dass in den Zeilen und Spalten von 2,4,6,8,0 keine 1 steht.

Somit fallen 0,2,4,6,8 schonmal raus, da diese kein Inverses besitzen, jetzt könnte man schonmal nachprüfen, ob 1,3,5,7 eine Gruppe bildet. :D

Comments

Ich habe aus deinem Kommentar schon mal eine Antwort gemacht. Falls sich Warren nochmals meldet und 1 immer noch braucht, kannst du oder ein Moderator via "Bearbeiten" daraus immer noch einen Kommentar machen.

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hallo

Danke für Ihre Antwort.Aber ich glaube, dass es einen Fehler gibt.

Wieso sagen Sie "in der Zeile von 8" Für mich gibt es keine, denn die Zahlen sind von 0 bis 7 und für 7 gibt es eine 1.

überprüfen Sie noch bitte und sagen sie mir .

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also ob man sich das ganze für 0-7 oder für 1-8 (wie ich es gemacht habe) ist an sich egal, da 8 kongruent 0 mod 8 ist.

Dh, ist Zeile 8 = die Zeile 0und in der „Nullzeile“ gibt es ja keine 1 :)

Answer 2

Mit 351 war alles falsch,

1. stand sie nicht in der Aufgabe,

2  ist 351 keine Primzahl und

 3. Habe ich mich auch noch verrechnet.

271=2*3*3*3*5+1

257^2 ≡103 mod 379

103^3 ≡70 mod 379

70^3 ≡5 mod 379

5^3 ≡ 125 mod 379

125^5 ≡119 mod 379
Das ging mit dem Rechner vom Handy gut.

119*257 ≡ 263 mod 379

hatte leider keine bessere Idee.

geht vermutlich einfacher, doch ich kann es nicht.

\( 257^{271} \) ≡263 mod 379

Comments

Hallo

Danke für Ihre Antwort.Aber ich verstehe nicht

wo ist 263?

brauchen wir nicht mehr dieser Zahl ?

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Ich habe mich verschrieben

379 wollte ich sagen

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Welche 263,

Die Aufgabe war doch

1)Bestimmen Sie die Restklasse von 257^271 mod 379

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ja aber ich verstehe nicht was Sie geschrieben haben ,denn Sie haben andere Zahlen.

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Und warum berechnest du sie dann mod 351, wenn der Rest mod 379 gefragt war?

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Oh, richtig da habe ich mich in der Aufgabe geirrt, vermutlich bin ich beim falschen Fragesteller gelandet.

Ich versuche es jetzt mit den richtigen Zshlen, melde mich hoffentlich gleich wieder.

1)Bestimmen Sie die Restklasse von 257^271 mod 379
Weiter als 257^378≡1 mod 379 komme ich im Moment auch nicht, tut mir leid.

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Antwort geändert.

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HI Hogar,

können Sie mir bitte diese Methode eklären?

vom Anfang bis Ende

mit diesen 2*3*3...

wie erhalten sie diese Zahlen

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271= 270+1

270 = 2*3*3*3×5

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\( 257^{271} \)

= ((((\( 257^{2})^{3})^{3})^{3})^5 \)*257

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Sei a≡R(a) mod c

und b≡R(b) mod c

so gilt a*b≡R(a)*R(b) mod c

Darum konnte ich die Potenzen der Reste betrachten, wodurch die Basis und damit der Potenzwert erheblich verringert wurde, so dass die Rechentiefe des  Rechners ausreicht.

Ich gebe aber zu, dass ich so großzügig war und

bei \( 125^{5} \)≡ 119 mod 379

119 geschrieben habe und nicht, wie der Rechner angibt 118,999936

;-)

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Alles klar

Danke :)

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125⁵ ≡119 mod 379

Das ging mit dem Rechner vom Handy gut

Schon versucht aber klappt nicht

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Samsung S10 e

125^= 30.517.578.125÷379=

80.521.314,313984

-80.521.314=0,313984*379=

118,999936

manchmal bleibt mein Handy auch stehen, dann verlasse ich das Fenster und öffne es wieder, dann geht es meist. Ja, es muss viel von Hand eingegeben werden. Doch ich bin da noch nicht mit zufrieden.

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80.521.314,313984

-80.521.314=0,313984*379=

118,999936

warum trennen sie das Ergebnis?

Warum -80521...

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Wenn ich die Zahl dividieren, dann habe ich einen ganzzahligen Anteil und den Rest. Wenn ich also vom Quotienten die GANZZAHL subtrahiere, dann muss ich nur noch diese Differenz mit 379 multiplizieren um die äquvalente Zahl zu bekomme.

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ja stimmt

habe ich vergessen

danke:)

Können sie bitte zeigen wie man Kongruenz löst

bzw

x≡ 3 mod 14

x≡5 mod 15

x≡3 mod 13

ich habe x≡185 mod 2730 gefunden aber ich bin nicht sicher

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2730 ist das kgV(13,14,15)

3+a*14=  5+b*15 =3+c*14= 185 sieht doch gut aus. Ich bin aber kein Fachmann, kann mich also nicht erinnern, dieses Thema an der Uni oder Schule behandelt zu haben.

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ok danke trotzdem