Zeigen Sie: rg(g ◦ f) ≤ min{rg(f),rg(g)}.

Question

Aufgabe:

Seien U, V, W drei Vektorräume über dem selben Körper K. Seien f ∈ Hom_K(U, V ) und g ∈ Hom_K(V, W).

(a) Zeigen Sie: rg(g ◦ f) ≤ min{rg(f),rg(g)}.

Answer 1

Hallo,

sei \(f: U\to V\) und \(g: V\to W\). Wegen \(\operatorname{Bild}(g\circ f)\subset \operatorname{Bild}(g)\) ist:$$\operatorname{Rang}(g\circ f)=\dim \operatorname{Bild}(g\circ f)\leq \dim \operatorname{Bild} (g)=\operatorname{Rang}(g)$$ Nach der Dimensionsformel ist:$$\operatorname{Rang}(g\circ f)=\dim \operatorname{Bild}(g\circ f) = \dim \operatorname{f} +\dim \ker (f)-\dim \ker (g\circ f) \\ \leq \dim \operatorname{Bild}(f)=\operatorname{Rang} (f)$$ weil \(\ker (f)\subseteq \ker (g\circ f)\)