Merke:Die gesuchte Größe liefert immer die Hauptgleichung (Hauptbedingung),weil die ja optimiert werden soll.Die Hauptgleichung hat 2 Unbekannte oder mehr,je nach Aufgabe.
Mindestens 1 Unbekannte muß durch eine Nebengleichung ersetzt werden.Man erhält so eine Gleichung (Funktion) der Form y=f(x)=...
Nun muß man eine Kurvendiskussion durchführen,Extrema bestimmen
1) O=2*r*pi*h+2*pi*r² Oberfläche=Matelfläche Zylinder+Oberfläche halbe Kugel
2) V=r²*pi*h → h=V/(r²*pi) ist das Volumen des Zylinders (ohne Volumen der Kugel)
2) in 1)
O(r)=2*r*pi*V/(r²*pi)+2*pi*r²=2*V/r+2*pi*r²
O(r)=2*pi*r²+2*V*1/r abgeleitet
O´(r)=0=4*pi*r-2*V*1/r² spezielle Quotientenregel (1/v)´=-1*r´/r²
multipliziert mit r²
0=4*r³-2*V Nullstelle r=3.te Wurzel(2*V/(4*pi)=3.te Wurzel(2*55.000 cm³/(4*pi)=20,61 cm
noch mal abgeleitet
O´´(r)=4*pi+4*V/r³ mit O´´(19,96)=4*pi+4*55.000/20,61³=37,69>0 also ein Minimum
Prüfe auf Rechen- und Tippfehler.
Hinweis: 1 Liter=1000 cm³ oder 1 Liter=1 dm
~plot~6,283*x^2+110000/x;[[-1|25|4000|40000|]];x=20,61~plot~