Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Injektivität und Surjektivität. Beweisen oder widerlegen Sie die entsprechenden Eigenschaften.1. f1 : N2 → Zf1( (x, y) ) =df x − y2. f2 : Z2 → Z2f2( (x, y) ) =df (x, 3x)3. f3 : Z2 → Z2f3( (x, y) ) =df (x, x + y)
So etwa : f1 : N^2 → Z f1( (x, y) ) = x − y
nicht injektiv, da f1(2,2) =f1(1,1)
surjektiv, denn Sei y∈Z .
1. Fall y≥0 dann gilt y∈N und f1(y,0) = y
2. Fall y<0 dann ist -y∈N und f1(0,-y) = y.
also auch surjektiv.
also nicht injektiv ja, weil f1 0 0 = f1 1 1 aber wieso nimmst du f1 2 2? Da steht ja N^2 und die 2 kann somit ja nie gewählt werden? Sondern nur 0 1 4 9 usw
N^2 bedeutet N x N also alle Paare mit Komponenten
aus N. Sonst macht ja f1( (x, y) ) keinen Sinn .
Okay stimmt, danke. Was bedeutet (y,0) und (0,-y)?
Kann man auch so beweisen?
z = x - y | +y
x = z+y
weil z+y für alle z E Z und y E N ein Element aus N ist, ist es surjektiv.
Nein, surjektiv bedeutet hier:
Für jedes z∈Z gibt es ein Paar (x,y) ∈ N x N
mit der Eigenschaft f(x,y) = z.
Und so ein Paar gibt es immer; denn
es ist ja das z entweder ≥0 oder <0.1. Fall z≥0 dann gilt z∈N also ist
(z,0) ein Paar ∈ N x N und f1(z,0) = z2. Fall z<0 dann ist -z∈N und f1(0,-z) = z.
Okay verstanden. Wie sieht dann der Injektivitätsbeweis aus für Zahlenbereich X Zahlenbereich? f2 ist nicht injektiv weil zb 2 1 = 3 1 ,
aber f3 sollte injektiv sein. Kann man das so beweisen?:
seien x1 y1 und x2 y2 E Z^2 mit f(x1,y1) = f(x2,y2)
(x1,x1+y1) = (x2,x2+y2)
x1=x2 UND x1+y1 = x2+y2
weil x1 und x2 gleich sind folgt
x1=x2 UND y1=y2
also folgt
(x1, y1) = (x2, y2)
Prima, ich hab noch Klammern ergänzt.
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