Für den ersten Teil kannst du zeigen, dass die Vereinigung zweier abgeschlossener Mengen abgeschlossen ist. Daraus folgt dann mit Induktion, dass jede endliche Vereinigung von abeschlossen ist.
Zweiter Teil: Wenn du z.B. \(C_j:=\left[\frac{1}{j}, 1\right]\) setzt, dann ist \(C_j\) abgeschlossen für alle \(j\in\mathbb{N}.\)
Trotzdem ist \(\bigcup_{j=1}^\infty C_j=(0,1]\) nicht abgeschlossen.