Aloha :)
Behauptung: \(\quad n\text{ ist gerade}\quad\Longleftrightarrow\quad(7n+4)\text{ ist gerade}\quad\text{, wobei }n\in\mathbb N\)
1) Hinrichtung \(\Longrightarrow\)
Wir setzen voraus, dass \(n\) gerade ist. Dann gibt es ein \(k\in\mathbb N\), sodass \(n=2k\) ist. Dividieren wir nun \((7n+4)\) durch \(2\), so erhalten wir$$\frac{7n+4}{2}=\frac{7\cdot2k+4}{2}=\frac{7\cdot2k}{2}+\frac{4}{2}=7k+2\in\mathbb Z$$eine ganze Zahl. Daher ist \(7n+4\) durch 2 teilbar.
2) Rückrichtung \(\Longleftarrow\)
Wir setzen voraus, dass \((7n+4)\) gerade ist. Dann gibt es eine Zahl \(k\in\mathbb N\), sodass \(7n+4=2k\). Daher ergibt die Division von \(n\) durch \(2\)$$\frac{n}{2}=\frac{7n-6n}{2}=\frac{\overbrace{7n+4}^{=2k}-6n-4}{2}=\frac{2k-6n-4}{2}=k-3n-2\in\mathbb Z$$eine ganze Zahl, sodass auch \(n\) gerade sein muss.