Hallo,
a)
y''' - 2y'' + y' = 3 x^2 - 4x + 1
y''' - 2y'' + y' = 0 ->homogene DGL
Ansatz:
y= e^(kx) ->3 Mal ableiten ->in die homogene DGL einsetzen:
charakt. Gleichung:
k^3 - 2k^2 + k = 0
k( k^2 - 2k + 1) = 0
k( k-1)^2 = 0
---->
k1= 0 → y1=C1
k2.3=1 ----->y2,3= C2 e^x +C3e^x *x
yh= C1 +C2 e^x +C3e^x *x
yp=x(A+Bx+Cx^2) -->Resonanz ------>3 Mal ableiten ->in die DGL einsetzen, Koeffizientenvergleich machen
yp= x^3+4x^2+11x
y=yh+yp
b) y'' + 3y' + 2y = cos(x) +e^(-2x)
-->Charakt. Gleichung:
k^2 +3k+2=0
k1=-1
k2=-2
yh=C1 e^(-2x) +C2e^(-x)
Ansatz part. Lösung summandweise:
yp1= x A e^(-2x) ->Resonanz
yp2= B cos(x) +C sin(x)
y=yp1+yp2
weiter siehe a)
Lösung:
\( y(x)=c_{1} e^{-2 x}+c_{2} e^{-x}-e^{-2 x} x+\frac{3 \sin (x)}{10}+\frac{\cos (x)}{10} \)