... weil in den Unterlagen immer lineare Unabhängigkeit vorausgesetzt wird.
Ja klar, sonst bekommt man auch keine eindeutige Lösung. So wie das hier der Fall ist.
Wenn man die separat betrachtet, entstehen dann dadurch Einschränkungen bei der Gesamtoptimierung?
Auch ja! Ich finde es aber auch überflüssig, dass überhaupt nach den Werten von \(\lambda_{1,2}\) gefragt wird. Entscheidend ist doch nur, dass diese \(\ne 0\) sind. D.h. es muss eine lineare Abhängigkeit zur Steigung der Hauptbedingung vorliegen. Und die liegt hier immer vor, wenn $$2 \lambda_1^* - \lambda_2^* = 1$$ ist. Die Werte, die ich oben angegeben habe, gelten genau dann, wenn der jeweils andere Wert \(=0\) und damit irrelevant ist. D.h. die Paare \((\lambda_1^*;\,\lambda_2^*) = (1/2;\,0)\) und \((\lambda_1^*;\,\lambda_2^*) = (0;\,-1)\) sind jeweils Lösungen der obigen Gleichung.
Man könnte das ganze auch so interpretieren, dass \(c_2\) im Punkt \((1;\,-1)\) gar keine Rolle spielt, da dieser Punkt gar nicht auf dem Rand von \(c_2\) liegt. Somit ist dort nur \(c_1\) überhaupt relevant.
Das ist IMHO die korrekte Lösung: \(\lambda_1^* = 1/2\) und \(\lambda_2^*\) ist hier irrelevant.
In der darauffolgenden Teilaufgabe muss dann die Menge linearisierter zulässiger Richtungen F(x) sowie der kritische Kegel bestimmt werden.
... da weiß ich nicht, was das ist. 'kritischer Kegel' sagt mir auch nichts.