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Aufgabe:

Zeigen Sie: Rang(A B)=Rang(B)-dim(Kern L_A ∩ Bild L_B)


Problem/Ansatz:

Ich bräuchte Hilfe bei dieser Aufgabenstellung. Ich wäre glücklich über jede Hilfe.

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Es ist ja LA*B = LA o LB . Also Rang(A*B) =  dim Bild (  LA o LB )

Durch die Abbildung LA o LB . werden ja die Elemente von ℝ^n zunächst

mittels LB nach ℝ^m und von dort mittels LA nach ℝ^k mit geeigneten n,m,k

abgebildet.  Nach dem ersten Schritt landet man in Bild(LB) und der

zweite Schritt geht also mit LA von Bild(LB) nach ℝ^k es wird also

L ' , die Einschränkung von LA auf Bild(LB) betrachtet.

Für diesen 2. Schritt besagt also der Dimensionssatz:

dim ( Bild(L') ) = dim Bild(LB)  - dim Kern (L ' )

Nun ist aber ja  dim ( Bild(L') ) = dim Bild ( LA o LB ) = Rang ( A*B)

und dim Bild(LB)  = Rang (B) und

Kern (L ' )  ist der Kern von der Einschränkung von LA auf Bild(LB) ,

also gleich Kern ( LA ) ∩  Bild(LB) .   q.e.d.

Avatar von 289 k 🚀

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