Basen mit Übergangsmatrix bestimmen

Question

Aufgabe:Sei $$A=\begin{pmatrix} -2 & 3 & 2 & 3\\ -3 & 5 & 0 & 1\\-1 & 2 & -2 & -2 \end{pmatrix}\\$$

und $$ F: \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^3$$ die durch F(x)=Ax definierte lineare Abbildung. Bestimmen Sie die Basen B von R^4 und C von R^3 mit $$M^{B}_{C}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\\$$

Problem/Ansatz:

Was ich bisher versucht habe:

1. Den Kern von der Matrix A bestimmt.

2. Alle möglichen (meines Wissenstandes nach) Zusammenhänge zwischen den Matrizen und den Koordinatenvektoren aufgestellt und komme zu keinem Lösungsansatz.

Ich hoffe einer von euch kann mir weiterhelfen.

Mit freundlichen Grüßen

Ralf

Comments

Hallo

die Aufgabe kann nicht richtig dargestellt sein. was hat A mit der Basis zu tun? es sei denn dass da steht , A bildet x aus R^4 mit Basis B auf  R^3 mit Basis c ab?

deine beschriebene Basiswechselmatrix macht keinen Sinn, da man damit keine Basis von R^3 finden kann.

Gruß lul

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Vielen Danke für die Antwort.

Die Aufgabe ist so gemeint, dass eine Abbildung F(x)=A*x mit der Abbildungsmatrix A und dem Vektor x (aus dem R^4, der von der Basis B aufgespannt wird) Von dem R^4 auf den R^3 (der von der Basis C aufgespannt wird) abbildet. Die Matrix  M^B_C stellt die Übergangsmatrix der Basen B und C dar. Nun sollen wir mittels dieser 2 gegebenen Matrizen die Basen B und C bestimmen. Dementsprechend ist die Aufgabenstellung so wie Sie es beschrieben haben.

Grüße

Ralf

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Hallo

ein Basisvektor in R^4 kann man  als (1,0,0,0) usw schreiben. Die  mit dem gegebenen M multipliziert  ergeben aber nur 2 Vektoren des R^3 also keine Basis, hast du M wirklich exakt zitiert?

A kann man anwenden indem man die Standardeinheitsvektoren des R^4 und R^3 benutzt.-

lul

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Ich habe gerade noch einmal verglichen. Alle Angaben sind identisch mit denen aus der Aufgabenstellung.

Grüße

Ralf

Answer 1

Hallo,

wenn ich mich nicht verrechnet habe (bitte checken), wäre eine Lösung. (Druckfehler korrigiert)

$$B:\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}10\\6\\1\\0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}12\\7\\0\\1\end{pmatrix}\qquad C: \begin{pmatrix}-2\\-3\\-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\5\\2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$$

Gruß MathePeter

Comments

Vielen Dank für die Antwort.

Jedoch habe ich noch keinen Ansatz gefunden um auf diese Lösung zu kommen. Könnten Sie mir bitte die Herangehensweise schildern?

Grüße

Ralf

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Wie habt Ihr die Matrix \(M^B_C\) definiert? Ich lese gerade nochmal Deinen Kommentar durch, Du nennest diese Matrix Übergangsmatrix? Ich habe sie für die darstellende Matrix von F bezüglich der Basen B und C gehalten.

Gruß Mathhilf

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Die Matrix \(M^B_C\) ist die Transformationsmatrix, die einen Koordinatenvektor des R⁴ in den Koordinatenvektor des R³ übersetzt.  

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Gerade auch nochmal im Hinblick auf den Kommentar von lul muss jetzt mal eine klare mathematische Definition her. Wie ist \(M^B_C\) definiert und was hat das mit A zu tun?

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Bei einer Abbildung von dem R^4 mit der Basis B auf den R^3 mit der Basis C nimmt man den ersten Basisvektoren vom R^4 und setzt diesen in F(x)=A*x ein. Somit erhält man einen Vektor vom R^3. Diesen Vektor stellt man nun als Linearkombination mit der Basis C dar. Die Lösungsmenge ist dementsprechend die erste Spalte der Transformationsmatrix \(M^B_C\) . Dies macht man analog für die 3 weiteren Basisvektoren vom R^4 und ergänzt die Matrix \(M^B_C\). Diese dient nun dazu einen Koordinatenvektor des R^4 in den R^3 zu übersetzten.

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Gut, genau das habe ich gemacht:

Der erste Basisvektor, \(b_1\) ist der Standard-Einheitsvektor, sein Bild ist \(Ab_1\), also die erste Spalte von A. Weil der erste Basisvektor von C gleich der ersten Spalte von A ist, also \(C_1=Ab_1\), sind die Koordinaten von \(Ab_1\) in der Basis C gleich (1,0,0) und das liefert die erste Spalte von M.

Genauso geht es mit \(b_2\).

Die weiteren Basisvektoren \(b_3\) und \(b_4\) spannen den Kern von A auf, werden also auf den Nullvektor abgebildet. Ihr Bild hat also in jeder Basis den Nullvektor als Koordinatenvektor.

Wie konstruiert man das ganze: Bestimme eine Basis für den Kern von A, hier \(b_3\) und \(b_4\), ergänze diese zu einer Basis von \(\mathbb{R}^4\).

Erkläre \(Ab_1\), \(Ab_2\) zu Basis-Vektoren \(c_1\) und \(c_2\). Ergänze diese durch \(c_3\) zu einer Basis von \(\mathbb{R}^3\).

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Vielen Dank für Ihre Hilfe. Ich habe es jetzt verstanden.

Grüße

Ralf