Zeigen Sie:Bernoulli , binomischen Lehrsatz , monoton wachsend,

Question

Text erkannt:

Für jede natürliche Zahl \( n \geq 1 \) seien \( e_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \) und \( E_{n}=\sum \limits_{k=0}^{n} \frac{1}{k !} \). Zeigen Sie:
(a) Die Folgen \( \left(e_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) ist monoton wachsend, d.h. es gilt \( e_{n} \leq e_{n+1} \) für alle \( n \in \mathbb{N} \). Hinweis: Wenden Sie die Bernoulli Ungleichung auf \( \frac{e_{n+1}}{e_{n}} \) an.
(b) Für alle \( n \in \mathbb{N} \) gilt \( 2 \leq e_{n} \leq E_{n}<3 \).

Hallo, Kann jemand bitte die Lösung zeigen

Beste Grüße

Answer 1

Folge dem Tipp:

e_n+1 / e_n =   (1+1/(n+1) * ( ( (n+2)*n ) / ( n+1)^2 )^n

              =   (1+1/(n+1) * ( 1 - 1/(n+1)^2 ) ^n  Bernoulli gibt

              ≥    (1+1/(n+1) * ( 1 - n/(n+1)^2 )

              = (n^3 + 3n^2 + 3n + 2) / (n+1)^3

              = 1 + 1/(n+1)^3   > 1

Also e_n+1 / e_n > 1 ==>   e_n+1 > e_n