Zeigen Sie, die folgende Identität: floor bzw ceiling Funktion Identität

Question

Aufgabe:

Sei x ∈ ℝ, sei m∈ ℤ und sei n ∈ℕ. Zeigen Sie, die folgende Identität:

⌊(⌊x⌋+m)/n⌋ = ⌊(x+m)/n⌋

Problem/Ansatz:

Leider habe ich dazu kaum bis gar nichts gefunden, wie man solche floor bzw. ceiling Funktionen Identitäten richtig beweist. Hat Jemand Ideen oder einen Lösungsvorschlag?

Answer 1

Hallo,

ich schreibe mal für positive x und m einen Beweis auf - sehe gerade nicht, ob sich der einfach überträgt - kannst ja mal schauen.

Es gilt folgende Darstellung (ich benutez [...] statt floor-Symbole

$$x=an+b+r \text{  mit } a \in \{0,1,2,3,\ldots\}, b \in \{0,1,2,\ldots,n-1\}, r \in [0,1)$$

Dann weiter:

$$[x]+m=an+b+m=:cn+d \text{  mit analogen Vereinbarungen, r entfällt, da natürliche Zahl}$$

Damit:

$$\left[\frac{[x]+m}{n}\right]=\left[c+\frac{d}{n}\right]=c$$

Andererseits ist

$$\frac{x+m}{n}=\frac{an+b+r+m}{n}=\frac{cn+d+r}{n}$$

$$\Rrightarrow \left[\frac{x+m}{n}\right]=c \text{  denn} \frac{d+r}{n}<\frac{n-1+1}{n}=1$$

Gruß Mathhilf