Woher weiß man, dass jeder Randpunkt von V \ M zur Menge M gehört?
Das hängt von der Leserichtung des Beweises ab.
Von oben nach unten weiß man es, weil jeder Randpunkt von \(V\setminus M\) wegen \(V = (V\setminus M)\dot\cup M\) auch Randpunkt von \(M\) ist und \(M\) wegen der Abgeschlossenheit alle seine Randpunkte enthält.
Von unten nach oben weiß man es, weil \(V\setminus M\) wegen der Offenheit keinen seiner Randpunkte enthalten kann und \(V = (V\setminus M)\dot\cup M\) ist.
Da M eine Teilmenge von V ist, könnte doch mehrere Werte in V exestieren, welcher größer/kleiner als jene Randpunkte in M sind.
Ich verstehe nicht, inwiefern dieses Argument relevant ist.
\(V \coloneqq \mathbb{R}, M\coloneqq [3,5]\). Dann ist \(3\) ein Randpunkt. \(1\) und \(2\) sind kleiner als der Randunkt. \(4\) und \(5\) sind größer als der Randpunkt. Na und?