a) Zu zeigen sind Kommutativität und Assoziativität bezüglich der Addition (das ist sehr leicht) sowie bezüglich der skalaren Multiplikation (das auch). Es läuft eigentlich darauf hinaus, jeweils zwei Matrizen hinzuschreiben und zu sagen, dass die Summen der Komponenten jeweils ebenfalls in C liegen und die Matrizen die spezielle Form behalten.
Etwas schwieriger ist vielleicht die Basis zu zeigen:
Schreibt man a und b in der kartesischen Form, dann erhält ein beliebiges Element der Menge die Form:
$$ \left( \begin{array} { c } { x + i y \quad u + i v } \\ { - u + i v x - i y } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { x } & { u } \\ { - u } & { x } \end{array} \right) + \left( \begin{array} { c } { i y } & { i v } \\ { - i v } & { i y } \end{array} \right) = x \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) + u \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { 1 } \\ { - 1 } & { 0 } \end{array} \right) + y \left( \begin{array} { c c } { i } & { 0 } \\ { 0 } & { - i } \end{array} \right) + v \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { i } \\ { i } & { 0 } \end{array} \right) $$
Da jede komplexe Zahl eindeutig durch ihren Real- und Imaginärteil beschrieben ist, wird auch jede Zahl aus H eindeutig durch diese vier Komponenten (x, y, u, v) beschrieben, wobei die Basis gerade diejenige ist, die zu prüfen war.
b) Hierfür rechnet man das Produkt einfach aus:
$$ \left( \begin{array} { c c } { a } & { b } \\ { - b ^ { * } } & { a ^ { * } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { c } & { d } \\ { - d ^ { * } } & { c ^ { * } } \end{array} \right) = \begin{pmatrix} ac-bd^* & ad+bc^* \\ -b^*c - a^*d^* & -b^*d + a^*c* \end{pmatrix}$$
Definiert man nun zwei neue komplexe Zahlen:
e = ac - bd*
f = ad + bc*
Dann erkennt man wegen
e* = a*c* - b*d
f* = a*d* + b*c
Dass die Matrix gerade die Form
$$ \left( \begin{array} { c c } { a c - b d ^ { * } } & { a d + b c ^ { * } } \\ { - b ^ { * } c - a ^ { * } d ^ { * } } & { - b ^ { * } d + a ^ { * } c ^ { * } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c } { e } & { f } \\ { - f ^ { * } } & { e ^ { * } } \end{array} \right) $$
annimmt, also insbesondere in H liegt.
c) Um zu prüfen, ob die Matrix Q invertierbar ist, muss die Determinante ausgerechnet werden:
Mit der Definition des Betrags einer komplexen Zahl
|z|² = z · z*
erhält man:
det Q = |a|² + |b|²
Wenn also Q≠0 gilt, sind a oder b verschieden von 0 und damit det Q ≠ 0. Also ist Q invertierbar.
Um zu zeigen, dass die gegebene Matrix die inverse ist, berechne ich das Produkt:
$$ \left( \begin{array} { c c } { a } & { b } \\ { - b ^ { * } } & { a ^ { * } } \end{array} \right) \cdot \frac { 1 } { | a | ^ { 2 } + | b | ^ { 2 } } \left( \begin{array} {} a^* & - b \\ b^* & a \end{array} \right) = \\ = \frac { 1 } { | a | ^ { 2 } + | b | ^ { 2 } } \left( \begin{pmatrix} aa^*+bb^* & -ab+ba \\ -b^*a^*+a^*b^* & bb^*+aa^* \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$
Da sich die Einheitsmatrix ergibt, handelt es sich tatsächlich um die Inverse.
Die Menge ist allerdings kein Körper, da sie im Allgemeinen nicht kommutativ ist.
Ein Beispiel ist
i*j = -j*i
Es handelt sich übrigens um die Menge der Quaternionen, eine Verallgemeinerung der komplexen Zahlen.
Hamilton hat sich viel damit beschäftigt, deswegen heißt die Menge häufig H.
Man kann mit ihnen die Drehungen im dreidimensionalen Raum beschreiben und sie eignen sich auch für die Formulierung gewisser Teile der Quantentheorie. :-)
