0 Daumen
286 Aufrufe

Aufgabe:

Zeige, dass es genau ein x ≥ 0 gibt mit \( e^{x} \) + \( \sqrt{x} \) = 3.

Problem/Ansatz:

Ich betrachte die Funktion f: [0, ∞) → ℝ mit f(x) = \( e^{x} \) + \( \sqrt{x} \)  - 3 und zeige, dass diese genau eine Nullstelle hat.

1.) f ist stetig als Komposition stetiger Funktionen.

2.) f ist streng monoton wachsend, da f'(x) = \( e^{x} \) + \( \frac{1}{2√x} \)  > 0

3.) f(0) = -3 und \( \lim\limits_{x\to\infty} \) f(x) = +∞

D.h. wenn ich ein kompaktes Intervall [0, b] wähle, wobei b < ∞ und b > 0 mit f(b) > 0, dann folgt aufgrund der strengen Monotonie f(0) < f(b) und es gilt f(0) = -3 < 0 und f(b) > 0. Nach dem Zwischenwertsatz muss dann auch ein x ∈ (0, b) existieren, sodass f(x) = 0.

Da wegen 2.) f auch noch streng monoton wachsend ist, ist f: [0, b] → ℝ bijektiv. Somit kann es nur exakt ein x ∈ [0, b] geben, sodass f(x) = 0.


Ist der Ansatz zur Lösung der Aufgabe richtig oder liege ich komplett daneben mit meiner Vorgehensweise?
Würde mich über Hilfe freuen!

Avatar von

1 Antwort

0 Daumen
 
Beste Antwort
3.) f(0) = -3

\(f(0) = \mathrm{e}^0 + \sqrt{0} - 3= 1 + 0 - 3 = -2\)

Aber anonsten ist dein Beweis korrekt.

Avatar von 106 k 🚀

Stimmt, hast natürlich recht. Habe ich mich wohl verrechnet.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community