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Aufgabe:

Geben Sie für folgende K-Vektorräume jeweils eine Basis an:
a) W1 = {(x1, . . . , xn) ∈ ℝn | 2x1 + x2 = 0} über K = ℝ.
b) W2 = {(x1, x2, x3, x4) ∈ ℝ4 | x1 + 3x2 + 2x4 = 0 und 2x1 + x2 + 3x3 = 0} über K = ℝ.
c) W3 = ⟨(i, i, 0),(0, 0, 1),(−1, −1, 0)⟩ ⊆ ℂ3 über K = ℂ.


wäre sehr lieb, wenn mir jemand helfen könnte^^

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Hallo :-)

Ich mache es mal beim ersten vor. Ich schreibe mal explizit so einen Vektor \(v\in W_1\) hin und forme so um, dass man die Basis dadurch ablesen kann:

In \(W_1\) gilt die Bedingung \(2\cdot x_1+x_2=0\quad \Leftrightarrow \quad x_2=-2\cdot x_1\). Also ist

$$ v=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\\vdots\\x_{n-1}\\x_n \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1\\-2\cdot x_1\\x_3\\\vdots\\x_{n-1}\\x_n \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1\\-2\cdot x_1\\0\\\vdots\\0\\0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\0\\x_3\\\vdots\\x_{n-1}\\x_n \end{pmatrix}\\[30pt]=x_1\cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\0\\\vdots\\0\\0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\0\\x_3\\\vdots\\x_{n-1}\\x_n \end{pmatrix}\\[30pt]=x_1\cdot \underbrace{\begin{pmatrix}1\\-2\\0\\\vdots\\0\\0 \end{pmatrix}}_{=e_1-2\cdot e_2}+x_3\cdot \underbrace{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\\vdots\\0\\0 \end{pmatrix}}_{=e_3}+...+x_{n-1}\cdot \underbrace{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\\vdots\\1\\0 \end{pmatrix}}_{=e_{n-1}}+x_n\cdot \underbrace{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\\vdots\\0\\1 \end{pmatrix}}_{=e_n}\\[30pt]=x_1\cdot (e_1-2\cdot e_2)+\sum\limits_{k=3}^n x_k\cdot e_k$$.

Also hat man \(\mathcal{B}:=(e_1-2\cdot e_2,e_3,...,e_{n-1},e_n)\) als eine Basis für \(W_1\).

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danke^^ das war sehr hilfreich

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