Aloha :)
Ich würde mir die Abbildungsmatrix ansehen:$$\phi(v_1;v_2;v_3)=\begin{pmatrix}v_1+v_2\\v_1-v_2\\v_1+\lambda v_3\end{pmatrix}=v_1\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+v_2\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}+v_3\begin{pmatrix}0\\0\\\lambda\end{pmatrix}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 0\\1 & -1 & 0\\1 & 0 & \lambda\end{array}\right)\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}$$Die Determinante der Abbildungsmatrix ist \((-2\lambda)\). Daher ist sie für \(\lambda\ne0\) invertierbar, d.h. für \(\lambda\ne0\) ist die Abbildung surjektiv und injektiv.
Für \(\lambda=0\) verlieren wir die letzte Spalte in der Abbildungsmatrix. Daher gehören unendich viele Vektoren \((0;0;\mathbb R)\) zum Kern der Abbildungsmatrix, also gibt es mehrere Argumente, die auf \(\vec 0\) abbilden, sodass die Abbildung nicht injektiv ist. Die Abbildung ist auch nicht surjektiv, weil z.B. der Bildvektor \((1;0;0)\) nicht erreicht werden kann.