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Seien V und W Untervektorräume des ℝ^5

gegeben durch


V= ⟨\( \begin{pmatrix} 1\\1\\0\\0\\-1 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 0\\1\\1\\0\\1\end{pmatrix} \),\( \begin{pmatrix} 0\\0\\1\\1\\1 \end{pmatrix} \)⟩

W= ⟨\( \begin{pmatrix} 1\\0\\1\\0\\1 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 0\\2\\1\\1\\0 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 1\\2\\1\\2\\-1 \end{pmatrix} \)


Bestimmen Sie Basen von V , W, V ∩ W und V + W


Kann mir bitte jemand eine ausführliche Rechnung dafür aufschreiben? Ich verstehe das einfach nicht, kurze Erklärungen dazu wären auch noch perfekt. Ich freue mich über jede Hilfe !

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Die drei Erzeugenden von V sind lin. unabhängig,

(Kannst du dadurch bestimmen, dass du sie als Spalten

in eine Matrix schreibst und mit Gauss-Alg. feststellst:

rang=3)

bilden also eine Basis von V.

Bei W genauso.

Bei V+W schreibst du alle 6 in eine Matrix und

wendest Gauss an. Du erhältst Rang=5,

also ist U+W der ganze R^5 und eine

Basis etwa die Standardbasis.

Nach dem Dimensionssatz hat also V ∩ W die Dimension 1

und für eine Basis musst du einen Vektor ( ungleich 0)

finden, der in beiden ist. Ansatz also etwa

\( a \cdot \begin{pmatrix} 1\\1\\0\\0\\-1 \end{pmatrix} +b \cdot  \begin{pmatrix} 0\\1\\1\\0\\1\end{pmatrix} +c \cdot  \begin{pmatrix} 0\\0\\1\\1\\1 \end{pmatrix} =d \cdot  \begin{pmatrix} 1\\0\\1\\0\\1 \end{pmatrix} +e \cdot  \begin{pmatrix} 0\\2\\1\\1\\0 \end{pmatrix} +f \cdot  \begin{pmatrix} 1\\2\\1\\2\\-1 \end{pmatrix} \)

Da bekomme ich e und f frei wählbar, aber d=e+f also nehme ich mal

e=1 und f=1 also d=2 und bilde

\( 2\begin{pmatrix} 1\\0\\1\\0\\1 \end{pmatrix}+1\begin{pmatrix} 0\\2\\1\\1\\0 \end{pmatrix}+1\begin{pmatrix} 1\\2\\1\\2\\-1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 3\\4\\4\\3\\0 \end{pmatrix}\)
Das wäre ein geeigneter Basisvektor für den Durchschnitt. In der Tat lässt er

sich mit den Faktoren 3   1   3   auch in V darstellen.

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