Hi,
ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand hier weiterhelfen oder mich auf einen Thread verweisen könnte, der die Frage beantwortet.
Aufgabe:
Es seien U, V und W drei endlich dimensionale K-Vektorräume sowie f : U → V und g : V → W zwei lineare Abbildungen.
Zeigen sie die folgende Ungleichung:
dimK(ker(g ° f)) ≤ dimK(ker(f)) + dimK(ker(g))
(g ° f) ist deren Komposition.
Problem:
In meinem Beweisansatz komme ich nicht auf die gesuchte Ungleichheit, sondern auf Gleichheit. Daher frage ich mich, ob auch die Gleichheit gilt (wenngleich mir das ziemlich unplausibel erscheint, wenn ich eine Ungleichheit beweisen soll) oder wo mein Fehler ist.
Beweisansatz:
Für alle x∈ker(g ° f) gilt: g(f(x))=0w.
Daher muss von jedem x∈ker(g ° f) auch f(x)∈ker(g) sein.
Daraus folgt, dass ker(g ° f)= { x∈U | f(x)∈ker(g) }.
Weil 0v∈ker(g), ist ker(f)⊆ker(g ° f).
Betrachte nun eine Funktion f' mit folgender Vorschrift:
f': ker(g ° f) → ker(g)
x ↦ f(x)
f' ist wohldefiniert, weil f wohldefiniert ist und alle x∈ker(g ° f) definitionsgemäß auf ker(g) abgebildet werden. Wegen letzterem ist f' auch surjektiv.
Aufgrund der Surjektivität folgt rg(f')=dimK(im(f'))=dimK(ker(g)).
Der Kern von f' ist ker(f'):={ x∈ker(g ° f) | f(x)=0v }. Weil ker(f)⊆ker(g ° f) ist also ker(f')=ker(f).
Einsetzen der Resultate in den Dimensionssatz für lineare Abbildungen liefert:
dimK(ker(f')) + rg(f') = dimK(ker(f °g) ⇔ dimK(ker(f)) + dimK(ker(g)) = dimK(ker(g ° f))