Würfel, fehlende Punkte berechnen (Vektorgeometrie)

Question

Hallo, ich hätte ein Problem. Ich hoffe, jemand kann helfen.

Aufgabe:

A (0 | 0 | 0), B (6 | 3 | -6), D(-6 | 6 | -3), E (3 | 6 | 6)

Geben Sie die Koordinaten der eingezeichneten Punkte P und Q an.

Zeigen Sie, dass die Ebene H mit H x₁+11x₂+2x₃ = 54 die Punkte D, P und Q enthält.

Comments

Nein - es ist KEIN Duplikat (dachte ich auch erst) Es ist ein zweiter Teil der Aufgabe!

https://www.mathelounge.de/905260/eckpunkte-eines-wurfels-vektorraum?state=close

Answer 1

Hallo,

Geben Sie die Koordinaten der eingezeichneten Punkte P und Q an.

Es gilt:$$\vec P=\vec{AP} = \frac23 \vec{AE} = \frac 23 \begin{pmatrix}3\\ 6\\ 6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\ 4\\ 4\end{pmatrix} \\ \vec Q = \vec{AQ} = \vec{AB} + \frac 13\vec{AE} = \begin{pmatrix}6\\ 3\\ -6\end{pmatrix} + \frac13 \begin{pmatrix}3\\ 6\\ 6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7\\ 5\\ -4\end{pmatrix}$$hier nochmal im Bild zur Kontrolle:

Zeigen Sie, dass die Ebene H mit \(H:\space x_{1}+11x_{2}+2x_{3} = 54\) die Punkte D, P und Q enthält.

Setze die Punkte einfach in die Ebenengleichung ein und prüfe, ob diese aufgeht:$$E: \quad x_{1}+11x_{2}+2x_{3} = 54 \\ D: \quad -6+11\cdot 6+2\cdot (-3) = 54 \space \checkmark \\ P: \quad 2+11\cdot 4+2\cdot 4 = \dots \\ Q: \quad \dots$$das ist der Fall. Klicke hier, dann kannst Du es Dir in 3D anschauen.

Gruß Werner

Comments

Danke sehr, aber das mit dem Q verstehe ich noch nicht so ganz.

---

Danke sehr, aber das mit dem Q verstehe ich noch nicht so ganz.

ich gehe davon aus, dass Du die Berechnung von \(Q\) meinst und nicht das Einsetzen der Koordinaten von \(Q\) in die Ebenengleichung.

Wir machen uns zu Nutze, dass \(A\) im Ursprung liegt, d.h. alle Koordinaten von \(A\) sind 0. Um einen Punkt irgendwo im Raum zubeschreiben, reicht es aus einen Weg zu finden, der vom Ursprung - also hier von \(A\) - zu eben diesem Punkt führt.

Den Weg, den ich hier einschlage, führt über \(B\) nach \(Q\). Zu \(B\) hin sollte klar sein. Und von dort nach \(Q\).$$\vec Q = \vec{AB} + \vec{BQ}$$Nun muss man noch wissen, dass man Vektoren beliebig verschieben kann. Da die Kante \(AE\) des Würfels parallel zu der Kante verläuft, auf der sich \(Q\) befindet, kann man den Vektor \(\vec{AE}\) hier verwenden.

Die Richtung von \B\) nach \(Q\) wird durch \(\vec{AE}\) vorgeben. Und die Entfernung ist genau ein Drittel der Länge der Kante, daher der Faktor \(1/3\). Also$$\vec Q = \vec{AB} + \vec{BQ} = \vec{AB} + \frac13\vec{AE}$$Klick bitte auf das Bild oben in meiner Antwort. Dann öffnet sich eine Geoknecht3D-Szene, in der ich auch diese beiden Vektoren eingezeichnet habe. Du kannst Die Szene mit der Maus rotieren, dann bekommst Du einen besseren räumlichen Eindruck.

Die räumliche Vorstellung ist bei Aufgaben dieser Art essentiell!