Untersuchen, ob Bilinearform ein Skalarprodukt ist

Question

Untersuchen Sie, ob die Bilinearform
σ: R³ × R³ → R,
σ(x,y) := 21x₁ y₁ + 15x₃ y₃ + 6x₁ y₂ + 18x₂ y₂ - 6x₂ y₃ + 6x₂ y₁ - 6x₃ y₂
ein Skalaprodukt auf R³ ist.

Hallo,
Könnte jemand diese Aufgabe vorrechnen? Ich möchte sehen, wie man es genau löst.
LG

Answer 1

Es ist \(\sigma(x,y)=\sum_{i=1,j=0}^3 a_{ij}x_iy_j=x^TAy\) , also ein ganz normales
bilineares Polynom. Die Koeffizientenmatrix \(A=(a_{ij})\) ist symmetrisch und
daher die Gram-Matrix einer symmetrischen Bilinearform. Wenn die
Matrix \(A\) positiv definit ist, liegt ein Skalarprodukt vor.
Die Matrix ist genau dann positiv definit, wenn die führenden Hauptminoren
alle \(>  0\) sind, was hier, wie man leicht nachrechnet, der Fall ist.

Answer 2

Hallo

ich denke schon man kann ein Beispiel finden dass <x,x> <0  dann muss man nicht mehr weiter machen.

das Vorrechnen der Axiome ist sonst im übrigen reine Schreibarbeit, warum willst du das "vorgerechnet" haben, Arbeit einfach die Axiome Stück für Stück durch, oder errate eines das nicht erfüllt ist dann bist du fertig.

Gruß lul

Comments

Alles klar danke