Zeige, dass für alle x,y ∈ R^n gilt

Question

Aufgabe:

Sei < . , .> ein Skalarprodukt im R^n und ||.|| die induzierte Norm. Zeige, dass für alle x,y ∈ R^n gilt

Bei < x+y,x-y>= ||x||² -||y||²

Problem/Ansatz:

< .,.> hat eigenschaften welche genau weiß ich nicht. Mein Problem ist wie ich an diese Übung ran gehen soll

Comments

Kläre in Deinem Lernmaterial oder im Web, welche Eigenschaften ein Skalarprodukt hat, und die Aufgabe löst sich in Wohlgefallen auf....

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oke ich habe es gefunden. Wie schreibe ich es richtig auf ? Kann mir jemand ein Beispiel dazu geben muss jetzt nicht für die Aufgabe sein

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Forme nach den Regel um: <x+y,z>. Setze dann z=x-y. Forme die beiden Summanden nach den Regeln um. Was fällt jetzt weg....

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Und dann wäre auch die Definition von

"und ||.|| die induzierte Norm" hilfreich.

Vermutlich ||x|| = √<x,x>

Answer 1

Zu spät gekommen

Vielleicht ist es an der Zeit, die Kommentare zu einem Lösungsversuch zusammenzufassen:

Es gilt für beliebige x,y,z: \(\langle x+y,z\rangle=\langle x,z\rangle + \langle y,z\rangle\). Daher mit z=x-y:

$$\langle x+y,x-y \rangle=\langle x,x-y\rangle +\langle y,x-y \rangle$$

Dann bearbeiten wir jeweilsden "zweiten Faktor":

$$\langle x,x-y\rangle +\langle y,x-y \rangle=\langle x,x \rangle -\langle x,y \rangle + \langle y,x \rangle -\langle y,y\rangle$$

Wegen der Symmetrie des Skalarprodukts heben sich die mittleren Terme weg und mit der Definition der Norm:

$$\langle x+y,x-y \rangle=\|x\|^2-\|y\|^2$$

Gruß Mathhilf

Answer 2

Wie schon oben geschrieben gilt wohl für die Norm

$$ \| x \|^2 = < x, x > $$ Für $$ < x+y , x-y> $$ gilt dann nach den allgmein bekannten Rechenregeln für ein Skalarprodukt

$$ < x+y , x-y> = <x,x> -<x,y> +<y,x> -<y,y> = \| x\|^2 -\|y\|^2 $$ weil \( <x,y> = <y,x> \) gilt

Comments

Dankeschön für die Antwort hat mir etwas weiter geholfen

Answer 3

<x+y,x-y> (setze Bilinearität ein)

<x,x> - <x,y> + <y,x> - <y,y>

= <x,x> + 0 - <y,y> da <x,y> = <y,x> wegen der Kommutativität des Skalarprodukts, heißt ein Skalarprodukt mit vertauschen Vektoren ergibt hier wieder dasselbe Skalarprodukt.

= <x,x> - <y,y> (Definition des Skalarprodukts anwenden)

IIxII^2 - IIyII^2