Aufgabe:
Untersuchen Sie, ob die folgende Teilmenge von \( R^{2} \) offen ist:
M = {(x,y) ∈ R2 : x2 - y2 < 0 }
Problem/Ansatz:
Vermutung: M ist offen.
Nach Definition ist eine Menge M offen, wenn gilt:
∀m ∈ M ∃ε : Uε(m) ⊆ M
Wo bei Uε(m) eine offene Kugel mit Radius ε um m ist.
Sei also m ∈ M beliebig.
Nun sei x = (x1, x2) ∈ Uε(m) beliebig. Es gilt:
|| m - x || < ε
Es bleibt zu zeigen: x ∈ M ⇔ x12 - x22 < 0
Die Frage ist bloß wie? Ich bin mir relativ sicher, dass M offen ist, da ich für das Komplement von M ein Gegenbeispiel
gefunden habe, das Komplement also nicht offen ist. Aber reicht das schon als Beweis, ich glaube nicht...
Man muss für ε einen gescheiten Wert finden, um damit die Ungleichung zu erfüllen. Ich habe aber nicht Mal den Hauch einer Ahnung, wie man überhaupt ansetzen kann. Wenn mir jemand ein allgemeines Vorgehen skizzieren könnte, wäre ich echt dankbar!
Vielen Dank schon mal!