Beweis mit Zwischenwertsatz

Question

Aufgabe 16 (8 Punkte).

(i) (4 Punkte) Zeigen Sie, dass die Funktion \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) mit
\( f(x):=\exp (x)-\sin x \text { für } x \in \mathbb{R} \)
mindestens eine Nullstelle besitzt.
(ii) (4 Punkte) Sei \( f:[0,1] \rightarrow[0,1] \) stetig. Zeigen Sie, dass \( f \) einen Fixpunkt hat, d. h. dass es ein \( x \in[0,1] \) gibt so dass \( f(x)=x \) gilt.
Tipp: Wenden Sie den Zwischenwertsatz auf eine geeignete Hilfsfunktion an.

die (i) hab ich schon gemacht aber die (ii) verstehe ich nicht ganz, da ich nicht weiß was für eine Funktion ich wählen soll, soll ich die aus (i) benutzen? (was übrigens nicht klappt mit dem Zwischenwertsatz)

Answer 1

Hallo

deine Hilfsfunktion ist  h(x) =f(x)-x  a) h(x)=0  für alle Punkt  dann f(x)=x

sonst  existiert h(x)≠0 für ein x Intervall , kann es wenn f(x) nur Werte in [0,1] annimmt überall >0 sein usw.

Gruß lul

Comments

Ahh jetzt verstehe ich es endlich, danke sehr1

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Ich hab das so gelernt, dass ich 0 und 1 in die Hilfsfunktion einsetze, und dann gucke on, das eine größer 0 und das andere kleiner 0 oder halt anders herum, wie schreibe ich das jetzt auf?

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Schreibe ich dann, h(0) = f(0)  - 0 und h(1) = f(1) - 1

was für eine Aussage kann ich den hier treffen

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ja und da f zwischen 0 und 1 liegt ist eines davon >=0 das andere <=0

lul

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Achso Dann kann ich das so schreiben also:

h(0) = f(0) - 0  >= 0 , da f:[0,1]

h(1) = f(1) - 1  <=0 , da f:[0,1]