Ich nehme an es handelt sich hierbei um die Dimension des Raums aller alternierenden multilinearen Abbildungen. Du hast jetzt keinen Zielbereich angegeben, ich werde einfach einen allgemeinen endlich dimensionalen Vektorraum \( W \) annehmen. Seien \( \mathcal{B}_{V} \) und \( \mathcal{B}_{W} \) fixierte Basen, und sei \( \varphi \) eine beliebige alternierende k-multilineare Abbildung. Es ergibt sich für \( v_{1}, \ldots, v_{\mathrm{k}} \in \mathrm{V} \) beliebig
\( \begin{aligned} \varphi\left(v_{1}, \ldots, v_{k}\right) &=\varphi\left(\sum \limits_{\mathbf{b}_{1} \in \mathcal{B}_{V}} \alpha_{\mathbf{b}_{1}} \mathbf{b}_{1}, \ldots, \sum \limits_{\mathbf{b}_{k} \in \mathcal{B}_{V}} \alpha_{\mathbf{b}_{k}} \mathbf{b}_{k}\right) \\ &=\sum \limits_{\mathbf{b}_{1} \in \mathcal{B}_{V}} \cdots \sum \limits_{\mathbf{b}_{k} \in \mathcal{B}_{V}} \alpha_{\mathbf{b}_{1}} \cdots \alpha_{\mathbf{b}_{k}} \varphi\left(\mathbf{b}_{1}, \ldots, \mathbf{b}_{k}\right) \end{aligned} \)
Insbesondere ist jedes \( \varphi \) also lediglich durch die Werte
\( \left\{\varphi\left(\mathbf{b}_{1}, \ldots, \mathbf{b}_{k}\right) \mid \mathbf{b}_{1}, \ldots \mathbf{b}_{k} \in \mathcal{B}_{V}\right\} \)
charakterisiert. Nun ist es ja bei alternierenden Abbildungen so, dass
\( \begin{aligned} \exists(i \neq j) \in[k]: \mathbf{b}_{i}=\mathbf{b}_{j} & \Longrightarrow \varphi\left(\mathbf{b}_{1}, \ldots, \mathbf{b}_{k}\right)=0 \\ \varphi\left(\mathbf{b}_{1}, \ldots, \mathbf{b}_{k}\right)=\mathbf{c} &\Longrightarrow \forall \sigma \in \mathrm{S}_{n}: \varphi\left(\mathbf{b}_{\sigma(1)}, \ldots, \mathbf{b}_{\sigma(k)}\right)=\operatorname{sgn}(\sigma) \varphi\left(\mathbf{b}_{1}, \ldots, \mathbf{b}_{k}\right) \end{aligned} \)
und daher, legen wir einen Wert für \( \varphi\left(\mathbf{b}_{1}, \ldots, \mathbf{b}_{k}\right) \) fest, so legen wir automatisch schon einen Wert für alle möglichen Permutationen des Tupels fest. Weiterhin sind auch schon alle Werte derjenigen Tupel bestimmt, in welchen ein Basisvektor mehrmals vorkommt. Also interessiert uns die Anzahl an k-Tupeln, wobei wir die Reihenfolge nicht beachten wollen und es keine Wiederholungen gibt. Dies ist jedoch gleich der Anzahl k-elementiger Teilmengen, und somit durch den Binomialkoeffizienten gegeben. Jedes solche Tupel können wir jetzt auf einen beliebigen Basisvektor von \( W \) abbilden, und somit ergibt sich schliesslich die Dimension
\( \operatorname{dim}\left(\operatorname{Alt}^{k}(V, W)\right)=\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) \operatorname{dim}(W) \)
