Bestimmen Sie \( \max \{x y z: x, y, z>0, x+y+z=1\} \).
Mit Lagrange etwa so:
L(x,y,z,λ) = xyz + λ(x+y+z-1)
partielle Ableitungen nach x und y sind yz+λ und xz+λ .
Beide 0 setzen und z>0 beachten gibt x=y.
Entsprechend mit 2 anderen partiellen Ableitungen y=z
Also alle 3 gleich und aus x+y+z=1 folgt dann
Max erreicht für x=y=z=1/3 also maximaler Wert 1/27.
Muss man dann noch mit der Hessematrix o. ä. überprüfen, dass es sich wirklich um das Maximum handelt?
Vermutlich schon. Wenn man natürlich die
Aufgabenstellung so interpretiert:
"Es gibt ein Max, bestimmen Sie den Wert!"
dann wohl nicht.
Ohne Lagrange: Satz vom arithmetischen und geometrischen Mittel.
Wegen AM≥GM und (hier) AM=1/3 kann GM auch maximal 1/3 werden, was für x=y=z=1/3 tatsächlich erreicht wird, also ist Max(xyz)=1/27.
Ein anderes Problem?
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