Wurzelgleichungen Definitionsbereich bestimmen

Question

Hey :)

ich kann die Lösungen nicht nachvollziehen:

Aufgabenstellung: Definitionsbereich der Wurzelgleichungen bestimmen

a) $$\sqrt{x-12}= -\sqrt{x+4}$$

hier ist der Definitionsbereich wohl $$\mathbb{D} = { x\in } \mathbb{R} | x \geq 12$$

links wäre ja die Einschränkung $$x \geq 12$$ und rechts $$x \geq -4$$

warum ist der Definitionsbereich insgesamt $$x \geq 12$$ ? Ich dachte mir das eigentlich so, dass ich beides mit einem "oder" dazwischen angebe.

b) $$\sqrt{x+\sqrt{2x}} = 2$$ hier sollte des Definitionsbereich $$\mathbb{D} = { x\in } \mathbb{R} | x \geq 0$$ sein, wie kommt man darauf ?

Answer 1

√(x - 12) = - √(x + 4)

Du weißt evtl. das der Term unter der Wurzel nicht negativ werden darf.

x - 12 ≥ 0 --> x ≥ 12

x + 4 ≥ 0 --> x ≥ -4

Alle Zahlen die mind. -4 und mind. 12 betragen betragen mind. 12. Ist das klar? Also ist der Definitionsbereich x ≥ 12

Das die Gleichung dabei keine Lösung hat kann man dann auch ohne rechnung sehen.

Comments

√(x + √(2·x)) = 2

Auch hier müssen die Terme unter der Wurzen wieder mind. 0 sein.

2·x ≥ 0 --> x ≥ 0

Für x ≥ 0 ist aber auch

x + √(2·x) ≥ 0

also ist der Definitionsbereich x ≥ 0.

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ahh also man gibt quasi den Kompromiss an wenn es 2 Wurzelterme sind? Weil x nur eine Zahl ist muss die Beschränkung dafür auf beide Wurzelterme anwendbar sein? :)

Answer 2

x >= -4
und
x >= 12

           |--------------------------------------->

<-------|--------------------------|--------------------------->

         -4                              12

                                           |--------------------------->

-4 >= x >= 12

x >= 12

Dies ist der Def-Bereich

Lösung : keine
der linke Teil der Gleichung ist positiv oder null.
der rechte Teil der Gleichung ist negativ
Lösungmenge ist die leere Menge

Comments

√ [ x + √ (2 * x) ] = 2
Def Bereich
x + √ (2* x) >= 0

2x >= 0
x >= 0

x + ( x >= 0 ) >= 0
( x >= 0 ) + ( x >= 0 ) >= 0
sowohl ( x >= 0 ) als auch ( x >= 0 )
sind größer als 0
daraus folgt
x >= 0