Berechne Die Maße der Querschnittsfläche, so dass möglichst wenig Material für die Rinne benötigt wird.

Question

Aufgabe:

Der Querschnitt einer 5m langen Abflussrinne besteht aus einem Halbkreis mit (oben) angesetztem Rechteck. Die Rinne ist nach oben sowie an den Enden (in Zu- und Ablflussrichtung) offen. Der Inhalt der Querschnittsfläche soll 175cm^2 betragen. Berechne Die Maße der Querschnittsfläche, so dass möglichst wenig Material für die Rinne benötigt wird.

Problem/Ansatz:

Es gibt keine Zeichnung und ich versage, die Bedingungen aufzustellen. Thema ist Extremwertprobleme. Hat jemand einen Ansatz/Idee?

Comments

Es gibt keine Zeichnung

Wenn ich böse wäre würde ich sagen: Heul doch.

Da ich nicht immer böse bin sage ich: Dann mach selbst eine. So etwas

hättest du hinbekommen, oder?

Die geforderten 175cm² setzen sich zusammen aus einem Halbkreis mit einem Radius r und einem Rechteck mit den Abmessungen Breite 2r und (unbekannte) Höhe h.

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Hat ein Rechteck nicht 4 Seiten?

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Die Rinne ist nach oben ...offen.

(So lautet der Aufgabentext.)

Und es ist sicher auch nicht sinnvoll, über dem Halbkreis eine "Zwischendecke" einzuziehen.

Answer 1

Nebenbedingung

A = 1/2·pi·r^2 + 2·r·h = 175 --> h = 175/(2·r) - pi·r/4

Hauptbedingung

U = pi·r + 2·h = pi·r + 2·(175/(2·r) - pi·r/4) = pi/2·r + 175/r
U' = pi/2 - 175/r^2 = 0 → r = √(350/pi)

h = 175/(2·√(350/pi)) - pi·√(350/pi)/4 = 0

Damit besteht die Rinne nur aus einem Halbkreis ohne angesetztes Rechteck!

Comments

Wie kommt man auf die Nebenbindungen 1/2·pi·r2 + 2·r·h? und wie auf U = pi·r + 2·h

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Diese Frage erübrigt sich, wenn du meinen Kommentar dann irgendwann vielleicht trotzdem verstanden hast.

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Hier mal eine Skizze von mir. h bezeichnet die Höhe des aufgesetzten Rechtecks und r den Radius des Kreises.

Wie berechnest du jetzt den Umfang bzw. die Länge des benutzten Materials und wie berechnest du die Querschnittsfläche?

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Die Querschnittsfläche wäre ja einmal die rechteckige Querschnittsfläche + die halbkreisförmige Querschnittsfläche. Also 2*r*h + pi * r

Umfang wäre 2h + die Hälfte vom Kreisumfang. Also pi * r + 2h

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@Mathecoach

Schön, dass du meine eine halbe Stunde alte Skizze noch einmal gecovert und mit zusätzlichen Schmuckelementen versehen hast.

@Hikoba

Irgendwas ist dir hier

Also 2*r*h + pi * r

verloren gegangen.

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Den Umfang habe ich ja auch so

U = pi·r + 2·h

nur die Fläche habe ich etwas anders

A = 1/2·pi·r^2 + 2·r·h

Kannst du den Unterschied erkennen und vielleicht sagen, wie der zustande kommt?

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Ok stimmt, so langsam verstehe ich das.

Was ist eigentlich mit den 5m aus der Aufgabenstellung?

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Die Rinne ist 5 m lag. Die Länge hat aber überhaupt nichts mit der Querschnittsfläche und deren Fläche und Umfang zu tun. D.h. die Rinne könnte auch 1 km lang sein. Das ändert an der Aufgabe nichts.

Das wäre nur wichtig, wenn dann gefragt wäre, wie viel Wasser die Rinne fassen könnte. Allerdings sollte sie dann auch vorne und hinten geschlossen sein.