Zeige, dass für den Flächeninhalt A(x) des Querschnitts einer derartigen Rinne folgende Gleichung gilt.

Question

Aufgabe:

Eine Rinne soll aus zwei gleichen Brettern der Länge l und der Breite b=40 cm gebildet werden.

Zeige, dass für den Flächeninhalt A(x) des Querschnitts einer derartigen Rinne folgende Gleichung gilt.
A(φ)=x∙√(1600-x^2 )       
Ermittle die Höhe, die Breite und den Flächeninhalt des Querschnitts derjenigen Rinne, die die größtmögliche Durchflussmenge gewährleistet.

Bestimme die Größe des Winkels φ.
Zeichne den Graphen der Zielfunktion.

(da war ein Bild dabei, aber möchte aus Copyrightgründen nicht Ärger kriegen.)

Das Bild was bei dem Beispiel dabei war hatte ein umgedrehtes (um 180°) gleichschenkliges Dreieck wo nur die Schenkeln (also l und b in diesem falle mit 40 cm beschriftet worden ist.) Das Dreieck wurde dann durch die Höhe in jeweils 2 Hälften geteilt wo auf der linken Seite φ beschriftet worden ist. Die Basis x wurde aufgrund der Hälfte 2x angeschrieben.

Problem/Ansatz:

Ich habe nach lauter Überlegungen bin ich auf das gleichschenklige Dreieck gekommen, mein Problem ist, wie kann ich h oder x ausrechnen? Es müsste doch Flächeninhalte oder Umfänge angegeben werden, oder?

Answer 1

Die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks, von dem man zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel kennt, sollte dir bekannt sein (Zitat wikipedia):

In deinem Fall gilt A=\( \frac{1}{2} \ell^2\cdot sin(\varphi)\)

An Höhe und Breite der Rinne in Abhängigkeit von φ kommst du, wenn du das gleichschenklige Dreieck entlang seinerSymmetrieachse in zwei kongruente rechtwinklige Dreieecke zerlegst, bei denen einer der Innenwinkel die Größe φ/2 hat.

PS: Das

A(φ)=x∙√(1600-x^2 )     

ist übrigens falsch und müsste A(x)=x∙√(1600-x^2 )

Answer 2

\(A(u)=\frac{2u}{2} \sqrt{1600-u^2} =u*\sqrt{1600-u^2}=\sqrt{1600*u^2-u^4}\) soll maximal werden.

\(A´(u)=\frac{3200u-4u^3}{2*\sqrt{1600*u^2-u^4}}=\frac{1600u-2u^3}{\sqrt{1600*u^2-u^4}}\)

\(\frac{1600u-2u^3}{\sqrt{1600*u^2-u^4}}=0\)

\(1600u-2u^3=0\)      \(800u-u^3=0\)         \(u*(800-u^2)=0\)

\(u₁=0\) entfällt

\(u₂=\sqrt{800}=\sqrt{400*2} =20*\sqrt{2}\)

\(A(20*\sqrt{2})=\sqrt{1600*800-640000}=800\)

Die Höhe des gleichschenkligen Dreiecks ist \(h=\sqrt{1600-u^2}=\sqrt{1600-800}=\sqrt{800}\)

Answer 3

Hallo. Die Formel $$ A(x)=x\cdot \sqrt{1600-x^2}  $$ folgt sofort mit dem Satz des Pythagoras und der Flächenformel für Dreiecke in einem der beiden Teildreiecke. Etwas anders notiert wird dies vielleicht deutlicher: $$ A(x)=2\cdot \dfrac{x\cdot \sqrt{40^2-x^2}}{2}  $$ Der Wurzelterm gibt die Höhe des Querschnittsdreiecks, also die Länge einer Kathete eines Teildreiecks, an, \(x\) die Länge der anderen Kathete.

Um nun \(\varphi\) zu bestimmen, lässt sich die Beziehung \(x=40\cdot\sin(\varphi)\) zur Ersetzung von \(x\) benutzen: $$ A(\varphi)=40\cdot\sin(\varphi)\cdot \sqrt{1600-\left(40\cdot\sin(\varphi)\right)^2}  $$