Grundsätzlich ist ja schon jede stetige Abbildung auf einem Intervall [a,b] beschränkt - ist also klar.
Man kann es aber nochmal einfach für den Fall von Lipschitz-Stetigkeit beweisen:
Es sei also
$$\forall x,y \in [a,b]: \quad |f(x)-f(y)| \leq L|x-y|$$
Dann gilt für alles \(x \in [a,b]\):
$$|f(x)|=|f(x)-f(a)+f(a)| \leq |f(x)-f(a)|+|f(a)|$$
$$\leq L|x-a|+|f(a)|\leq L(b-a)+|f(a)|$$
Also ist die rechte Seite eine obere Schranke für die Funktionswerte von f