Es bezeichne \( f: M_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow M_{2}(\mathbb{R}) \) die Abbildung von Vektorräumen gegeben durch
\( f(X)=A X-X A \quad \text { mit } \quad A:=\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right) . \)
a) Zeigen Sie, dass \( f \) linear ist. Bestimmen Sie eine Basis vom Kern und vom Bild von \( f \). Gilt \( M_{2}(\mathbb{R})=\operatorname{ker}(f) \oplus \operatorname{im}(f) \) ?
b) Bestimmen Sie die Matrix \( N:=M(f, e, e) \in M_{4}(\mathbb{R}) \) von \( f \) in der folgenden Basis \( e=\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}\right) \) von \( M_{2}(\mathbb{R}) \) :
\( e_{1}:=\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right) \quad e_{2}:=\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right) \quad e_{3}:=\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}\right) \quad e_{4}:=\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right) . \)
