a) Das zu lösende Gleichungssystem ergibt sich aus der Forderung, dass die gesuchten Vektoren senkrecht auf beide Aufspannenden stehen müssen, im Skalarprodukt also 0 ergeben.
Fasst man a1 und a2 als Zeilenvektoren zu einer Matrix A zusammen, ergibt sich das lineare Gleichungsystem
A*x = 0
Führe jetzt den Gaußalgorithmus an A durch:
$$ \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 1 } \\ { 2 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \rightarrow \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) \rightarrow \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) $$
Übersetzt man das zurück, so folgen daraus die beiden Gleichungen
x=0 und z=0. Die Lösungsmenge ist also die Menge aller Vektoren, bei denen nur die y-Komponente von 0 verschieden ist.
L = {v=(x,y,z)∈R3: v=k*(0,1,0), k∈R}
b) Von Projektionsmatrizen hab ich leider keine Ahnung. Allerdings ist die Ebene die xz-Ebene des Koordinatensystems, aus rein logischer Überlegung kann man also schlussfolgern, dass bei der Projektion auf diese Ebene lediglich die y-Komponente wegfällt, während x- und z-Komponenten identisch erhalten bleiben. Die Projektionsmatrix lautet dann:
$$ P = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) $$
Da ich aber wie gesagt nicht so genau weiß, wie das funktioniert (Wikipedia ist auch nur bedingt hilfreich), kann es sein, dass das falsch ist. Ich vermute vor allem, dass da möglicherweise noch eine Streckung oder Stauchung stattfindet.