Idee war schon OK. Allerdings sind die konstanten Funktionen
mit einer Konstanten aus ℚ ja auch stetig. Die tun es also.
Hat allerdings eine Funktion mehr als nur einen Funktionswert,
also etwa die beiden rationalen Werte a und b mit
f(x)=a und f(y)=b dann gibt es ja zwischen a und b auch
eine irrationale Zahl c, und wenn f stetig ist, gibt es nach dem
Zwischenwertsatz eine Zahl z zwischen x und y mit f(z)=c,
also hätte f auch einen irrationalen Funktionswert.