0 Daumen
408 Aufrufe

Aufgabe:

Gegeben sei die Funktion f : R → R mit
f (x) := \( \frac{1}{2} \)x + x2sin\( \frac{1}{x} \) , falls x≠0

f(x)= 0, falls x=0

Zeigen Sie, dass f differenzierbar ist und f ′(0) = \( \frac{1}{2} \) gilt. Zeigen Sie ferner, dass es kein Intervall
(−ε, ε) mit ε > 0 gibt, auf dem f monoton wachsend ist


Problem/Ansatz:

Wir kommen bei dieser Aufgabe zu keiner Lösung.

Avatar von

2 Antworten

0 Daumen

Hallo

1. kannst du erstmal für x≠0 einfach differenzieren und den GW gegen 0 bestimmen.

2. musst du den Differenzenquotienten   für x gegen 0 mit f(0)=0 aufschreiben und den GW bestimmen (dabei kann man das 1/2x weglassen, da der GW bekannt) nutze aus dass (sin(1/x)|<=1.

wenn du die Ableitung hast ,ist der zweite Teil leicht, indem du zeigst dass f' in dem Bereich beliebig oft das Vorzeichen ändert, zB indem du eine Folge xn< ε nimmst für die sin(1/xn) abwechselnd 1 und -1

Gruß lul

Avatar von 108 k 🚀
0 Daumen

Aloha :)

$$f(x)=\left\{\begin{array}{c}\frac12x+x^2\sin\frac1x &\text{für }x\ne0\\[1ex]0 &\text{für }x=0\end{array}\right.$$Die Differnzierbarkeit für \(x\ne0\) ist schnell gezeigt, denn wir können die Ableitung der Funktion bestimmen:$$f'(x)=\frac12+2x\sin\frac1x+x^2\cos\frac1x\cdot\left(-\frac{1}{x^2}\right)=\frac12+2x\sin\frac1x-\cos\frac1x$$und diese Ableitung ist für alle \(x\ne0\) definiert.

Die Differenzierbarkeit an der Stelle \(x=0\) müssen wir genauer untersuchen. Dazu bilden wir Differenzenquotienten und prüfen, ob sein Grenzwert für \(x\to0\) existiert:$$f'(x)=\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to0}\frac{(\frac12x+x^2\sin\frac1x)-0}{x}=\lim\limits_{x\to0}\left(\frac12+x\sin\frac1x\right)\stackrel{(\ast)}{=}\frac12$$Die Konvergenz des Terms \((x\sin\frac1x)\) gegen Null sieht man so:$$\left|\sin\frac1x\right|\le1\implies|x|\cdot\left|\sin\frac1x\right|\le|x|\implies\left|x\sin\frac1x\right|\le|x|\;\stackrel{(x\to0)}{\to}\;0$$

Die Funktion ist also für alle \(x\in\mathbb R\) differenzierbar und es gilt:$$f(x)=\left\{\begin{array}{c}\frac12+2x\sin\frac1x-\cos\frac1x &\text{für }x\ne0\\[1ex]\frac12 &\text{für }x=0\end{array}\right.$$

Wenn die Funtion in einer \(\varepsilon\)-Umgebung um \(0\) herum monoton wachsend wäre, müsste die Ableitung für alle \(x\in(-\varepsilon;\varepsilon)\) größer oder gleich Null sein. Wir wählen aus diesem Intervall$$x_0\coloneqq\frac{1}{2\pi\,n_0}\quad\text{mit}\quad n_0\coloneqq\left\lceil\frac{2\pi}{\varepsilon}\right\rceil$$und setzen den Wert in die Ableitung ein:$$f'(x_0)=\frac12+2\cdot\frac{1}{2\pi\,n_0}\cdot\sin(2\pi\,n_0)-\cos(2\pi\,n_0)=\frac12+0-1=-\frac12$$Daher wächst die Funktion in keiner \(\varepsilon\)-Umgebung von \(0\) monoton.

Avatar von 152 k 🚀

Wieso ist

\(cos(2\pi\,n_0)\)= 1?

n_0 ist eine ganze Zahl.

Du weißt (oder solltest wissen), dass

cos(0π)=1

cos(2π)=1

cos(4π)=1

Allgemein: cos(2kπ)=1 mit k∈Z.

Dank dir das n_0 eine ganze Zahl ist war mir nicht bewusst. Ich hatte die Gaußklammer übersehen.

Dank dir

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community