N(t)=N0*e^(k*t), k ermitteln ohne Technologieeinsatz

Question

Aufgabe:
3. Annahme exponentielles Wachstum: Im Jahr 2013 lebten in einem bestimmten Gebiet von Salzburg 90 herumstreunende Katzen. Bis zum Jahr 2018 stieg die Population auf 290 Katzen.

a. Erklären Sie die einzelnen Parameter des Wachstumsgesetzes N(t)=N0*e^(k*t)
b. Erstellen Sie eine Formel, wie man den Faktor k ohne Technologieeinsatz bestimmt

Problem/Ansatz:
a. t=die Zeit, N0 Startwert, e= Wachstumsfaktor, k= die Wachstumskonstante
b. N(t) = N0*e^(k*t) / N0
  N(t)/N0 = e^(k*t) / log
  k*t = (log N(t)/NO)/log e
  k = ((log N(t)/NO) / log e) / t
So hab ich's verstanden zu machen nach dem ich es mir gerade probiert hab zu lernen, denn leider fehlt mir grad die Unterstufe für die Abendhak, weil sie einfach zu lange her ist und vor 30 Jahren nicht erinnern kann gelernt zu haben

Die Lösung müsste aber laut Angabe k = (ln (N(t))-ln(N0)) t sein und laut Internet Rechner
k = ln(N(t) / t sein, auf das ich eben beides nicht komme.

Könnt ihr mir bitte sagen wo hier der Fehler bei mir ist? Vielen DANK

Comments

Nur ein Detail, aber ein wichtiges:

e ist hier kein "Wachstumsfaktor", sondern die Eulersche Zahl, die Basis der natürlichen Logarithmen.

Answer 1

Mit \(\mathrm{e}\) ist üblicherweise die eulersche Zahl gemeint. Wie schnell die Funktion wächst oder fällt wird durch \(k\) bestimmt.

Die Umkehrfunktion der Funktion \(x\mapsto e^x\) ist der natürliche Logarithmus \(x\mapsto \ln x\). Damit wäre

        \(k = \frac{1}{t}\cdot\ln\frac{N(t)}{N_0}\).

Das kann mit Logarithmusgesetzen umgeformt werden zu

    \(k = \frac{1}{t}\cdot \left(\ln N(t) - \ln {N_0}\right)\).

Comments

Vielen Dank für deine Antwort. Um es mir selbst lernen zu können:

b. N(t) = N0*e^(k*t) / N0 das ist noch richtig, oder?

N(t) / N0 = e^(k*t) / log das ist auch noch richtig, oder?

N(t) / N0 = e^(k*t) / log und das auch, oder?

k*t = log N(t) / N0 / : t da ist schon ein Fehler passiert, oder?
Denn so weiß ich dann, wo ich falsch vorgehe.

k = (log N(t) / t da ist auch ein Fehler passiert, oder?

k = 1/t * ln N(t)/N0 wie komme ich auf was du schreibst, ich würde es bitte
gerne verstehen, um es dann in Zukunft selbst richtig lösen zu
können.    

k = 1/t * (ln N(t) – ln N0) umformen Logaritmusgesetz, wie zu schreibst

und:
k = ( ln (N(t)) – ln (No) ) / t aber warum ist die Lösung lt. Angabe anders als deine? Für dich als guter Mathematiker sicher logisch, aber für mich leider nicht

LG und herzlichen Dank Martina

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k*t = log N(t) / N0

Verwende Klammern um N(t) / N0.

k = (log N(t) / t

Das N0 ist plötzlich nicht mehr da und es fehlt eine schließende Klammer.

k = 1/t * ln N(t)/N0 wie komme ich auf was du schreibst

Die 'Gleichung

      k*t = log (N(t) / N0)

mit 1/t multiplizieren.

k = ( ln (N(t)) – ln (No) ) / t aber warum ist die Lösung lt. Angabe anders als deine?

Meine Lösung kann mittels Bruchrechenregeln in deine umgeformt werden.

Answer 2

N(t) = 90*e^(k*t)

N(5) =290

290 = 90*e^(k*t)

e^(k*5) = 290/90 = 29/9

k*5 = ln(29/9)

k= ln(29/9)/5 = ...

N(0) = Anfangsbestand

k = Wachstumskonstante

t = Zeit in Jahren

b) N(t) = 90*e^(ln(29/9)/5*t) 

Comments

Vielen Dank für deine Antwort. Um es mir selbst lernen zu können:

b. N(t) = N0*e^(k*t) / N0 das ist noch richtig, oder?

N(t) / N0 = e^(k*t) / log das ist auch noch richtig, oder?

N(t) / N0 = e^(k*t) / log und das auch, oder?

k*t = log N(t) / N0 / : t da ist schon ein Fehler passiert, oder?
Denn so weiß ich dann, wo ich falsch vorgehe.

k = (log N(t) / t da ist auch ein Fehler passiert, oder?

k= ln(29/9)/5 = ... wie komme ich mit meinem Weg auf was du schreibst ?

und:
k = ( ln (N(t)) – ln (No) ) / t aber warum ist die Lösung lt. Angabe anders als deine? Für dich als guter Mathematiker sicher logisch, aber für mich leider nicht

LG und herzlichen Dank Martina

Answer 3

Du schreibst:

b. N(t) = N0*e^(k*t) / N0
N(t)/N0 = e^(k*t) / log
k*t = (log N(t)/NO)/log e
k = ((log N(t)/NO) / log e) / t

Wähle die eulersche Zahl e als Basis des Logarithmus, dann heißt es:

b. N(t) = N₀*e^k*t             |: N0
N(t)/N₀ = e^k*t               |ln
k*t = ln (N(t)/N₀)           |:t
k = ln( N(t)/N₀) / t