0 Daumen
413 Aufrufe

das Vektorfeld
\( F=\left(F_{1}, F_{2}, F_{3}\right): \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \quad\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \mapsto\left(0,0, x_{3}\right) \)
und die Teilmenge
\( K:=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \in \mathbb{R}^{3}: x_{1}^{2}+\left(x_{2} / 3\right)^{2}+\left(x_{3} / 4\right)^{2} \leq 1\right\} \)
von \( \mathbb{R}^{3} \). Berechne das Flussintegral
\( \int \limits_{\partial K} F \cdot d \mathbf{S} \)
mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes.

Hi, könnte jemand mir erklärend zeigen, wie man die Aufgabe löst? Danke

Avatar von

Was hast du versucht? was hast du mit dem

Gaußschen Integralsatz angefangen? F ist ja sehr einfach!

lul

div(F)=1 weiter weiß ich nicht.

Und woran scheiterst du? nimm eventuell Kugel oder elliptische Koordinaten,

lul


Sqrt(9-9x1^2)

-Sqrt(16-16*(x2^2)/3-16x1^2)<=x3 <= Sqrt(16-(16*x2^2)/3-16x1^2)

Wäre das so richtig?


Wenn ich kugelkoordinaten verwenden würde,

Wären r∈[0,1]  Θ∈[0, pi] und φ∈[0, 2pi] ?

Ja richtig , bei r nur wenn bei x2 r√3 und x3 r*2 steht.

Gruß lul

Habe diese Aussage nicht verstanden.

bei r nur wenn bei x2 r√3 und x3 r*2 steht.

Allgemein wie kommt man auf das Θ∈[0, pi] und auf das r wenn vor vor dem x1 / x2 zahlen stehen?

Also sind die Grenzen von r falsch?

es muss x1^2+x2^2/3+x3^2/4=r^2 sein wenn du mit r rechnen willst Tschaka hat die Achsen mit deren Quadrat verwechselt

lul

1 Antwort

+1 Daumen

Aloha :)

Das Integral über die geschlossene Oberfläche der Menge \(K\) kannst du mit Hilfe des Gauß'schen Integralsatzes auf das Integral über das gesamte Volumen der Menge \(K\) zurückführen:$$\phi=\oint\limits_{\partial K}\vec F\,d\vec S=\int\limits_K\operatorname{div}(\vec F)\,dV$$

Die Divergenz des Vektorfeldes ist$$\vec F(\vec r)=\begin{pmatrix}0\\0\\x_3\end{pmatrix}\implies\operatorname{div}(\vec F(\vec r))=\frac{\partial F_1}{\partial x_1}+\frac{\partial F_2}{\partial x_2}+\frac{\partial F_3}{\partial x_3}=0+0+1=1$$Daher bleibt im Integranden nur das Volumenelement \(dV\) übrig.

Für die Integration brauchen wir noch einen Ortsvektor \(\vec r\), der alle Punkte des Volumens \(K\) abtastet. Da die Menge \(K\) einen Ellipsoiden beschreibt, drängen sich Kugelkoordinaten auf:$$\vec r=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\sin\vartheta\\3r\sin\varphi\sin\vartheta\\4r\cos\vartheta\end{pmatrix}\quad;\quad r\in[0;1]\;;\;\varphi\in[0;2\pi]\;;\;\vartheta\in[0;\pi]$$Der Faktor \(3\) bei der y-Koordinate und der Faktor \(4\) bei der z-Koordinate berücksichtigen die Längen der entsprechenden Halbachsen des Ellipsoiden. Sie führen aber auch dazu, dass das übliche Volumenelement in Kugelkoordnaten \((dV=r^2\sin\vartheta\,dr\,d\varphi\,d\vartheta)\) um den Faktor \(3\cdot4=12\) vergrößert wird.

[Bemerkung dazu: Wenn du das Volumenelement mit der Funktionaldeterminante transformierst, erhältst du eine Zeile, die um den Faktor \(3\) und eine Zeile, die um den Faktor \(4\) vergrößert ist. Beide Faktoren kannst du vor die Determinante ziehen.]

Das gesuchte Flussintegral können wir daher so formulieren:$$\phi=\int\limits_{r=0}^1\,\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\;\int\limits_{\vartheta=0}^\pi12\,r^2\,\sin\vartheta\,dr\,d\varphi\,d\vartheta=12\int\limits_0^1r^2\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}d\varphi\int\limits_{\vartheta=0}^{\pi}\sin\vartheta\,d\vartheta$$$$\phantom\phi=12\cdot\left[\frac{r^3}{3}\right]_0^1\cdot\left[\varphi\right]_0^{2\pi}\cdot\left[-\cos\vartheta\right]_0^{\pi}=12\cdot\frac13\cdot2\pi\cdot2=16\,\pi$$

Avatar von 152 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community