0 Daumen
396 Aufrufe

Aufgabe: Monotonieverhalten von rekursiven Folgen beweisen

z.z. das die Folge (bn)n∈ℕ monoton ist

               bn+1 = \( \frac{4b-3}{b} \)

               b1 = 2


Problem/Ansatz:

Mein Problem ist es, dass ich den Beweis für die Monotone nicht hinbekomme. Unter der Annahme, dass die Folge konvergiert, habe ich als mögliche GW x=1 und x=3 mit der PQ-Formel errechnet. Auch die Beschränktheit bekomme ich mit der voll. Induktion gezeigt. Nur den Beweis für die Monotonie nicht: bn+1 - bn ≥ 0. Ich hab die Vermutung, dass das etwas mit dem goldenen Schnitt zutun hat und bin für jede Hilfe/Erklärung dankbar.

Avatar von

Die Folgenglieder hängen ja gar nicht von \(n\) ab. Überprüfe bitte deine Frage.

Sollte das vielleicht bn+1=\( \frac{4b_n-3}{b_n} \) heißen?

Ja genau, Roland hat recht. Bei mir ging das im Editor mit dem Index nicht, deshalb ist das "n" leider unter die Räder gekommen - sorry für die Verwirrung!

$$b_{n+1}-b_n=\frac{4b_n-3}{b_n}-b_n=\frac{(b_n-1)(3-b_n)}{b_n}.$$Wenn du \(1<b_n<3\) bereits gezeigt hast, hast du auch Monotonie.

Etwas einfacher wäre vielleicht per Induktion zu zeigen, dass \(\,b_n=3-\large\frac6{3^n+3}\,\) ist.

1 Antwort

0 Daumen
 
Beste Antwort

Aloha :)

Wir betrachten die rekursiv definierte Folge:$$b_{n+1}=\frac{4b_n-3}{b_n}=4-\frac{3}{b_n}\quad;\quad b_1\coloneqq2$$

Durch Induktion zeigen wir kurz, dass \((b_n<3)\) für alle \(n\in\mathbb N\) gilt.

Wegen \((b_1=2)\) ist die Verankerung klar. Der Induktionsschritt ist nun:$$\small b_n<3\implies\frac{b_n}{3}<1\implies\frac{3}{b_n}>1\implies-\frac{3}{b_n}<-1\implies4-\frac{3}{b_n}<3\implies b_{n+1}<3$$

Ebenso kurz zeigen wir, dass \((b_n\ge2)\) für alle \(n\in\mathbb N\) gilt.

Wegen \(b_1=2\) ist die Verankerung wieder klar. Der Induktionsschritt lautet:$$\small b_n\ge2\implies\frac{b_n}{3}\ge\frac23\implies\frac{3}{b_n}\le\frac32\implies-\frac{3}{b_n}\ge-\frac32\implies4-\frac{3}{b_n}\ge\frac52\ge2\implies b_{n+1}\ge2$$

Wir halten fest, dass \((2\le b_n<3)\) für alle \(n\in\mathbb N\) gilt.

Damit können wir die Monotonie bestimmen:$$b_{n+1}-b_n=\frac{4b_n-3}{b_n}-b_n=\frac{4b_n-3-b_n^2}{b_n}=\frac{\overbrace{(b_n-1)}^{\ge1}\overbrace{(3-b_n)}^{>0}}{\underbrace{b_n}_{\ge2}}>0\implies b_{n+1}>b_n$$Die Folge ist also streng monoton wachsend.

Avatar von 152 k 🚀

Moin, vielen Dank für deine ausführliche Aufarbeitung. Ich habs nachvollzogen und verstanden - fantastisch, vielen Dank!

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community