0 Daumen
795 Aufrufe

Aufgabe:

Gegeben sind Daten \( \left(t_{i}, y_{i}\right) \in \mathbb{R}^{2} \) für \( i=1, \ldots, m(m>3) \) mit \( 0<t_{1}<t_{2}<\cdots<t_{m} \). Diese Daten werden mit einer Funktion der Form \( g(t)=a+b t+c \frac{1}{t} \) approximiert, wobei die Parameter \( a, b, c \) geeignet zu bestimmen sind.

a) Formulieren Sie die Koeffizientenmatrix \( A \) zum linearen Ausgleichsproblem
\( \min _{x \in \mathbb{R}^{3}}\|A x-y\|_{2}^{2} \)
wobei \( x:=(a, b, c)^{\top} \) und \( y:=\left(y_{1}, \ldots, y_{m}\right)^{\top} \) gilt.
b) Die Normalgleichungen zum Ausgleichsproblem stellen ein lineares Gleichungssystem \( B x=w \) zur Bestimmung der unbekannten Parameter dar. Geben Sie Formeln für die Komponenten der Matrix \( B \) und der rechten Seite \( w \) an für das obige spezielle Ausgleichsproblem.
c) Nun sollen die Daten mit einer Funktion der Form \( \tilde{g}(t)=\tilde{a}+\tilde{b} t+\tilde{c} \frac{1}{t}+\tilde{d} t^{2} \) approximiert werden. Es sei \( \tilde{x} \in \mathbb{R}^{4} \) die Lösung des zugehörigen linearen Ausgleichsproblems und \( \tilde{r}(\tilde{x}) \) das Residuum. Beweisen Sie \( \|\tilde{r}(\tilde{x})\|_{2} \leq\|r(x)\|_{2} \), wobei \( r \) und \( x \) das Residuum und die Lösung zum linearen Ausgleichsproblem bezüglich der Funktion \( g \) sind.

Problem/Ansatz:

Hallo zusammen, könnte mir jemand bitte bei c) helfen?

a) und b) habe ich schon :)

Avatar von

Für c) brauchst Du keine weiteren mathematische Aussagen, keine Rechnungen, nix.

Es handelt sich um eine elementare Verständnisfrage zum Thema Ausgleichsrechnung.

Also suche nix Kompliziertes, benutze Deinen gesunden Menschenverstand.

c) Um zu zeigen, dass \( \|\tilde{r}(\tilde{x})\|_{2} \leq \|r(x)\|_{2} \), betrachten wir das Residuum der Funktion \( g \) und das Residuum der Funktion \( \tilde{g} \). Sei \( r(x) = Ax - y \) das Residuum von \( g \) und \( \tilde{r}(\tilde{x}) = A\tilde{x} - y \) das Residuum von \( \tilde{g} \).

Wir möchten beweisen, dass \( \|\tilde{r}(\tilde{x})\|_{2} \leq \|r(x)\|_{2} \). Dafür betrachten wir den quadratischen Abstand zwischen den Residuen:

\( \|\tilde{r}(\tilde{x})\|_{2}^2 - \|r(x)\|_{2}^2 = \|\tilde{r}(\tilde{x})\|_{2}^2 - \|Ax - y\|_{2}^2 \)

Dieser Ausdruck kann umgeformt werden:

\( \begin{aligned} \|\tilde{r}(\tilde{x})\|_{2}^2 - \|r(x)\|_{2}^2 &= (\tilde{r}(\tilde{x}))^\top \tilde{r}(\tilde{x}) - (Ax - y)^\top (Ax - y) \\ &= \tilde{x}^\top A^\top A \tilde{x} - 2y^\top Ax + y^\top y - x^\top A^\top A x + 2y^\top Ax - y^\top y \\ &= \tilde{x}^\top A^\top A \tilde{x} - x^\top A^\top A x \\ &= \tilde{x}^\top B \tilde{x} - x^\top B x \end{aligned} \)

Da \( B = A^\top A \) eine symmetrische, positiv semidefinite Matrix ist, gilt \( \tilde{x}^\top B \tilde{x} \leq x^\top B x \). Daraus folgt:

\( \|\tilde{r}(\tilde{x})\|_{2}^2 - \|r(x)\|_{2}^2 \leq 0 \)

Da der Ausdruck kleiner oder gleich Null ist, ergibt sich:

\( \|\tilde{r}(\tilde{x})\|_{2}^2 \leq \|r(x)\|_{2}^2 \)

Und somit:

\( \|\tilde{r}(\tilde{x})\|_{2} \leq \|r(x)\|_{2} \)





Richtig so?

Das ist offenbar falsch, alleine schon deshalb wiel x dreidimensional ist und x-Tilde vierdimensional; als kann nicht beides mit eine Matrix A multiipliziert werden.

Ich erinnere nochmal an meinen Kommentar.

\( \begin{array}{l}\frac{1}{t_{m}} \cdot c=y_{m} \Rightarrow c=y_{m} \cdot t_{m} \\ t_{m}^{2} \cdot \tilde{d}=y_{m} \Rightarrow \tilde{d}=\frac{y_{m}}{\sqrt{t_{m}}}\end{array} \)

Also weil c  größer gleich d~ ist.


Richtig oder?

Das kann ich nicht nachvollziehen.

\( \begin{array}{l}g(t)=a+b t+c \frac{1}{t} \\ {\left[\begin{array}{ccc}1 & t_{1} & \frac{1}{t_{1}} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & t_{m} & \frac{1}{t_{m}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}a \\ b \\ c\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}y_{1} \\ y_{2} \\ \vdots \\ y_{m}\end{array}\right]} \\ \tilde{g}(t)=\tilde{a}+\tilde{b} t+\tilde{c} \frac{1}{t}+\tilde{d} t^{2} \\ {\left[\begin{array}{cccc}1 & t_{1} & \frac{1}{t_{1}} & t_{1}^{2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & t_{m} & \frac{1}{t_{m}} & t_{m}^{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\tilde{a} \\ \tilde{b} \\ \tilde{c} \\ \tilde{d}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}y_{1} \\ y_{2} \\ \vdots \\ y_{m}\end{array}\right]} \\ \frac{1}{t_{m}} \cdot c=y_{m} \Rightarrow c=y_{m} \cdot t_{m} \\ t_{m}^{2} \cdot \tilde{d}=y_{m} \Rightarrow \tilde{d}=\frac{y_{m}}{\sqrt{t_{m}}} \\\end{array} \)

Wie kommst Du auf

$$\frac{1}{t_m}c=y_m$$

IMG_7217.jpeg


wie ich weiß, r ist die letzte Lösung also ich meinte c und d~

Ich habe das einfach so genommen.. ich weiß nicht wie ich das sonst machen soll..

Hast du Tipps?

1 Antwort

0 Daumen
 
Beste Antwort

Linear Ausgleichsrechnung bedeutet hier, das Minimum der Mengen

$$P:=\{\sum_{i=1}^m(g(t_i)-y_i)^2\mid g(t)=a+bt+c/t, \; a,b,c \in \R\}$$

bzw.

$$Q:=\{\sum_{i=1}^m(g(t_i)-y_i)^2\mid g(t)=a+bt+c/t+dt^2, \; a,b,c,d \in \R\}$$

Weil \(P \sub Q\), ist \(\min Q \leq \min P\).

Avatar von 14 k

Aber vielleicht muss man das\( \|\tilde{r}(\tilde{x})\|_{2} \leq\|r(x)\|_{2} \)  verwenden. Sonst hãtten die nur geschrieben, dass wir beweisen müssen dass \( \tilde{r}(\tilde{x}) \leq r(x) \) ist. Oder?

Es ist \(\min P=\|r(x)\|^2\)

Aber woher wissen wir das \(P \sub Q\) dann \(\min Q \leq \min P\) ?

Das ist der schon angesprochene gesunde Menschenverstand: Das kleinste Kind in einer Schulklasse ist größer (\(\ge\)) als das kleinste Kind der ganzen Schule.

Jetzt verstehe ich es. Danke!

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community