Aufgabe:
Gegeben sind Daten \( \left(t_{i}, y_{i}\right) \in \mathbb{R}^{2} \) für \( i=1, \ldots, m(m>3) \) mit \( 0<t_{1}<t_{2}<\cdots<t_{m} \). Diese Daten werden mit einer Funktion der Form \( g(t)=a+b t+c \frac{1}{t} \) approximiert, wobei die Parameter \( a, b, c \) geeignet zu bestimmen sind.
a) Formulieren Sie die Koeffizientenmatrix \( A \) zum linearen Ausgleichsproblem
\( \min _{x \in \mathbb{R}^{3}}\|A x-y\|_{2}^{2} \)
wobei \( x:=(a, b, c)^{\top} \) und \( y:=\left(y_{1}, \ldots, y_{m}\right)^{\top} \) gilt.
b) Die Normalgleichungen zum Ausgleichsproblem stellen ein lineares Gleichungssystem \( B x=w \) zur Bestimmung der unbekannten Parameter dar. Geben Sie Formeln für die Komponenten der Matrix \( B \) und der rechten Seite \( w \) an für das obige spezielle Ausgleichsproblem.
c) Nun sollen die Daten mit einer Funktion der Form \( \tilde{g}(t)=\tilde{a}+\tilde{b} t+\tilde{c} \frac{1}{t}+\tilde{d} t^{2} \) approximiert werden. Es sei \( \tilde{x} \in \mathbb{R}^{4} \) die Lösung des zugehörigen linearen Ausgleichsproblems und \( \tilde{r}(\tilde{x}) \) das Residuum. Beweisen Sie \( \|\tilde{r}(\tilde{x})\|_{2} \leq\|r(x)\|_{2} \), wobei \( r \) und \( x \) das Residuum und die Lösung zum linearen Ausgleichsproblem bezüglich der Funktion \( g \) sind.
Problem/Ansatz:
Hallo zusammen, könnte mir jemand bitte bei c) helfen?
a) und b) habe ich schon :)