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Aufgabe:

Eigenwerte bestimmen

\( M=\left(\begin{array}{cccccc}1 & 0 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 0 & 6 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & -1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 9 & 9 & 9\end{array}\right) \)


Problem/Ansatz:

Ich bekomme nicht die richtige Variante mit λ raus. Wäre lieb, wenn mir jemand die Lösung geben könnte.

Danke im Voraus.

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Ich bekomme nicht die richtige Variante mit λ raus.

Woher heißt du, dass deine Variante die falsche ist?

weil sie nicht den nicht ausführlichen Lösungen meiner Aufgabe entsprechen.

es gibt auch andere Wege als die Musterlösung

3 Antworten

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\( \mathrm{DET}\left[\begin{array}{cccccc}1-\mathrm{k} & 0 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2-\mathrm{k} & 0 & 6 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1-\mathrm{k} & -1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -2-k & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 5-\mathrm{k} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 9 & 9 & 9-\mathrm{k}\end{array}\right]=0 \)

Ich komme auf die Lösung: k = 9 ∨ k = 5 ∨ k = -2 ∨ k = 2 ∨ k = -1 ∨ k = 1

Avatar von 487 k 🚀

Kannst du mir den Rechenweg sagen? :)

Der Rechenweg wurde bereits genannt von mathef

Der Rechenweg wurde bereits genannt von mathef

Solltest du den Rechenweg nicht verstehen, melde dich aber gerne nochmals und sag auch am besten, was du genau nicht verstehst.

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Es bietet sich an die Eigenwerte über die Block-Diagonalgestalt zu lösen

$$det\begin {pmatrix} {B-\lambda}I_n & C \\ 0 & {D-\lambda}I_n \end{pmatrix}=det(B-\lambda I_n)det(D-\lambda I_n)=0$$

Avatar von
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\( M=\left(\begin{array}{cccccc}1 & 0 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 0 & 6 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & -1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 9 & 9 & 9\end{array}\right) \)

Du brauchst ja die Determinante von M-x*E

Das geht leicht mit Blockmatrizen , also die Det.

der 3x3 Matrix oben links mal Det. des 3x3 Blocks unten rechts.

Dann gibt die erste  (1-x)(2-x)(-x-1)

und die zweite (9-x)(-x-2)(5-x) .

Und an dem Produkt (1-x)(2-x)(-x-1)(9-x)(-x-2)(5-x)  kannst

du doch die Eigenwerte ablesen.

Avatar von 289 k 🚀

Das habe ich gemacht und habe jetzt 10x^2-18x-88. Ist das korrekt oder habe ich einen Fehler gemacht?

Es muss 6 Eigenwerte geben bei einer 6x6 Matrix, in deinem Fall kannst du die Eigenwerte direkt ablesen da diese bereits faktorisiert sind (1-x)(2-x)(-x-1)(9-x)(-x-2)(5-x)

Du hast doch

(1-x)(2-x)(-x-1)(9-x)(-x-2)(5-x) = 0

Dieses Produkt ist genau dann gleich 0,

wenn einer der Faktoren 0 ist, also

1-x=0   d.h.  x=1

oder 2-x=0   d.h. x=2

oder -x-1=0   d.h. x=-1

oder ... oder .... oder

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