Normen-Äquivalenz zeigen

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Normen \( \|\cdot\|_{\infty},\|\cdot\|_{1} \) und \( \|\cdot\|_{2} \) auf \( \mathbb{R}^{n} \) äquivalent sind. Beweisen Sie dazu folgende Ungleichungen für alle \( x \in \mathbb{R}^{n} \) :
(a) \( \|x\|_{\infty} \leq\|x\|_{1} \leq n \cdot\|x\|_{\infty} \).

Problem/Ansatz:

Diese Aufgabe hat mehrere ähnliche Teilaufgaben, jedoch verstehe ich nicht, wie man hier vorgehen soll. Mir ist klar, dass zum Beispiel |x_i| kleiner gleich max |xi| ist und damit auch der hintere Teil der Ungleichung gilt, aber das ist ja kein Beweis(?). KAnn mir jemand einen Tipp geben, wie man generell diese Aufgabe lösen kann?

Vielen Dank und LG :-)

Comments

Doch genau das ist der Beweis für die 2. Ungleichung

Answer 1

"mir ist klar" ist kein Beweis, aber wenn Du das ordentlich aufschreibst, mit der von Dir genannten Idee, wird es einer für den rechten Teil der Ungleichung. Der linke Teil ist sogar einfacher als der rechte Teil.

Tipp für beide Fälle: Fang an mit "sei \(k\) so, dass \(\|x\|_\infty=|x_k|\).

Schreib es auf und lade es gerne zur Kontrolle hier hoch.