Umformen für die Majorantenkriterium

Question

Aufgabe:

bn= (4n-1)/(\( \sqrt{n^6+4n} \)+\( \sqrt{n^6-1} \))  , hier muss man die Reihe untersuchen ob die konvergent oder divergent ist , laut lösung ist die Reihe konvergent nach Majorantenkriterium , aber eine Sache habe ich nicht ganz verstanden und zwar wie bringen diese Reihe in diesem Form ?

0<bn<(4n-1)/ \(2 \sqrt{n^6} \)<(5n/n³)

Danke im Voraus

Answer 1

Klammere \(\sqrt{n^6}\) aus und nimm den Rest, der positiv ist, weg. Dadurch wird der Nenner kleiner, aber der Ausdruck größer.

Answer 2

Die erste Abschätzung erscheint mir tatsächlich etwas überraschend:

\(b_n = \frac{4n-1}{\sqrt{n^6}\underbrace{\left(\sqrt{1+\frac 4{n^5}} + \sqrt{1-\frac 1{n^6}}\right)}_{w_n}}\)

Dass \(w_n > 2\) für \(n\geq 1\) gilt, ist meines Erachtens nicht unmittelbar zu sehen. Vielleicht hat ja ein geneigter Leser dieser Antwort eine wirklich einfache und schnelle Abschätzung. Dass sie gilt, kann man z. B. hier sehen.

Im vorliegenden Kontext erscheint mir folgende Vorgehensweise effektiver:

Da \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} w_n = 2\), gibt es einen Index \(N\), sodass für \(n\geq N\) gilt:

\(w_n > \frac 32\)

Damit bekommt man ohne weiteres für \(n\geq N\):

\(b_n < \frac{4n-1}{\sqrt{n^6}\cdot \frac 32} <\frac 83 \cdot \frac 1{n^2}\)