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Ungleichung zeigen...

Wieeee geht das ?


Für beliebige reelle Zahlen \( a, b, c \) und \( d \) zeigen Sie die Ungleichungen
\( (a b+c d)^{2} \leq\left(a^{2}+c^{2}\right)\left(b^{2}+d^{2}\right) \)
und finden und beweisen Sie die Bedingungen, unter denen Gleichheit gilt!

Avatar von

klammer auflösen, binomische Formel anwenden

und die beiden Seiten dann vergleichen. vielleicht erkennt man dann etwas

Da hab ich dann (ab)^2 + 2abcd  +(cd)^2 <gleich (ab)^2+(ad)^2+(cb)^2+(cd)^2



Und nun ? Theoretisch muss ich ja nur noch zeigen dann 2abcd kleiner gleich ad^2+cb^2 ist, wie mach ich das ?

1 Antwort

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Beste Antwort

Hi,

Multipliziere mal aus:

(ab + cd)2 ≤ (a2 + c2)* (b2 + d2)

a2b2 + 2abcd + c2d2 ≤ a2b2 + a2d2 + b2c2 + c2d2     | -a2b2 - c2d2

2abcd ≤ a2d2 + b2c2                                                | -2abcd

a2d2 - 2abcd + b2c≥ 0                                          | 2. binomische Formel

(ad - bc)2 ≥ 0


Nun haben wir dank der binomischen Formel einen quadratischen Term. Damit haben wir etwas quadratisches, was nicht negativ werden kann. Folglich passt die Ungleichung ;).


Grüße

Avatar von 141 k 🚀

Danke perfekt :) und wie zeigt man die Gleichheit ?

Gerne ;).


Was meinst Du mit Gleichheit?

Das ganze ist nur gleich 0, wenn ad = bc, falls Du das meinst?! ;)

Ja also der zweite Teil der Aufgabe lautete ja, und finden und beweisen sie die Bedingungen unter denen Gleichheit gilt..

Hab ich doch grad ;).

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