Lineare Abbildungen: Es existiert eine lineare Abbildung f : ℝ^3 → ℝ^7 so dass {f(x) : x ∈ ℝ^3} = ℝ^7

Question

Entscheide, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind und begründe:

(a) Für jede lineare Abbildung f : ℝ³ →  ℝ⁷ ist die Menge
B_f := {f(x) : x ∈ ℝ³}
ein Unterraum von ℝ⁷.

(b) Es existiert eine lineare Abbildung f : ℝ³ →  ℝ⁷ so dass
{f(x) : x ∈ ℝ³} = ℝ⁷

Weiss jemand wie man diese Aufgabe lösen kann?

Answer 1

(a) Für jede lineare Abbildung f : ℝ³ →  ℝ⁷ ist die Menge 
B_f := {f(x) : x ∈ ℝ³} 
ein Unterraum von ℝ⁷. 

Richtig. f(0) = 0.

und aus a und b in R^3 folgt t*a + s*b Element R^3, t,s Parameter aus R.

f(a) und f(b) Element U

Aufgrund der Linearität von f gilt f(t*a + s*b) = t*f(a) + s*f(b) Element U. usw.

(b) Es existiert eine lineare Abbildung f : ℝ³ →  ℝ⁷ so dass 
{f(x) : x ∈ ℝ³} = ℝ⁷

falsch. Die Dimension des Bildes einer linearen Funktion kann nicht grösser sein als die Dimension ihres Urbildes.

Comments

Vielen Dank,

b) leuchtet mir sofort ein,
a) muss ich wohl nochmals die Theorie genau nachlesen, dann sollte es gehn :)