Aloha :)
Die Fibonacci-Folge ist definiert als:$$f_1=1\;\;;\;\;f_2=1\;\;;\;\;f_n=f_{n-1}+f_{n-2}\;\;\text{für}\;\; n\ge3$$
Mit dem Ansatz \(f_n=\lambda\cdot f_{n-1}\) bzw. \(f_n=\lambda^n\) gehen wir in die Definitionsgleichung:$$\left.\lambda^n=\lambda^{n-1}+\lambda^{n-2}\quad\right|\;:\lambda^{n-2}$$$$\left.\lambda^2=\lambda+1\quad\right|\;-\lambda-1$$$$\left.\lambda^2-\lambda-1=0\quad\right|\;\text{pq-Formel}$$$$\lambda_{1;2}=\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{1}{4}+1}=\frac{1}{2}\pm\frac{1}{2}\sqrt5=\frac{1\pm\sqrt5}{2}$$
Jede Linearkombination der gefundenen Lösungen ist wieder eine Lösung der Definitionsgleichung:$$f_n=a\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^n+b\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^n$$
Die beiden Unbekannten \(a\) und \(b\) erhalten wir aus den Anfangsbedingungen \(f_1=1\) und \(f_2=1\).$$1=f_1=a\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^1+b\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^1$$$$1=f_2=a\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^2+b\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^2$$
Die Lösung dieses Gleichungssystems ist \(a=1/\sqrt5\) und \(b=-1/\sqrt5\). Das liefert uns schließlich die gesuchte geschlossene Darstellung:$$f_n=\frac{1}{\sqrt5}\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^n-\frac{1}{\sqrt5}\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^n$$
