a) (i) k*\( \vec{u_{1}} \) =\( \vec{0} \) ⇒ k=0, also l.u.
(ii) Wenn u1,u2 l.u, dann auch u1,u2-u1=\( \begin{pmatrix} 0\\1\\-1 \end{pmatrix} \) = w2
Man sieht sofort: x*\( \vec{u_{1}} \) + y*\( \vec{w_{2}} \) = \( \vec{0} \) ⇒ x=y=0, also l.u.
(iii) Wenn u1,u2,u4 l.u, dann auch u1,u2-u1-u4=\( \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} \) = w3,u4.
Man sieht sofort: x*\( \vec{u_{1}} \) + y*\( \vec{w_{3}} \)+ z*\( \vec{u_{4}} \) = \( \vec{0} \) ⇒ x=y=z=0, (die kanonische Basis), also l.u.)
b) u3=u2-2u1
c) U4=span{u⃗1,u⃗2,u⃗3,u⃗4} =span{u⃗1,u⃗2,u⃗4} wegen b). Wegen a) dim U4=dim U3=3, dim U2=2, dim U1=1. Die Basen und die Beweise findet man in a)
d) U2∩V = span{u⃗1,u⃗2} ∩ span{u⃗3,u⃗4}
Wegen b) liegt u3 in span{u⃗1,u⃗2} , wegen a)(iii) liegt u4 nicht in span{u⃗1,u⃗2} , also ist der eindimensionale U2∩V = span{u⃗3}