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Ich habe folgende Aufgabe:

"Sei (X,d) ein metrischer Raum und Y ⊆ X mit der induzierten Metrik ausgestattet. Zeigen Sie:

Eine Teilmenge V ⊆ Y ist offen in Y genau dann, wenn eine in X offene Teilmenge U ⊆ X mit V = U ∩ Y existiert"


Fuer "⇒" sollte es doch eigentlich klar sein, da V ⊆ Y ⊆ X und V somit V ⊆ X und V offen in X und Y ist, da beide Mengen die gleiche Metrik haben.

fuer die Rueckrichtung weiß ich leider nicht wie ich das machen soll.

Wenn ich eine offene Menge U habe die Teilmenge von X ist ist der Schnitt U ∩ Y immer offen, oder?

Sollte U ⊄ Y sein, dann habe ich die leere Menge und diese ist immer offen. Aber was ist mit den anderen Faellen, wenn U nur zum Teil in Y liegt. Sollte U ⊆ Y sein, dann sollte das so wie bei der hin Richtung sein, oder?

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Die Frage hat gar nicht so wenig Aufrufe, deswegen antworte ich mal, da ich den Beweis "\(\Leftarrow\)"  geführt  und ich selbst nach "\(\Rightarrow\)" gesucht habe :)

Sei (X,d) ein metrischer Raum und Y ⊆ X mit der induzierten Metrik \(d':Y\times Y→\mathbb{R}\) ausgestattet. Sei die

Fuer "⇒" sollte es doch eigentlich klar sein, da V ⊆ Y ⊆ X und V somit V ⊆ X und V offen in X und Y ist, da beide Mengen die gleiche Metrik haben.

Das ist falsch, den Fehler habe ich auch gemacht. V ist nicht zwangsläufig in X offen. Das gilt anscheinend nur, wenn Y  offen in X ist. Man muss somit die Menge U konstruieren.

Umformulierte Behauptung:

Eine Teilmenge V ⊆ Y ist offen in Y genau dann, wenn eine in X offene Teilmenge U ⊆ X mit V = U ∩ Y existiert.

Beweis:

"\(\Leftarrow\)" Angenommen es existiert eine offene Teilmenge \(U\subset X\) mit \(V=U\cap Y\).

Sei \(a\in V\) bzw. \(a\in U\cap Y\) beliebig gewählt, also muss gelten \(a\in U\) und \(a\in Y\).

Aus der Offenheit von \(U\) folgt, dass für \(a\in U\) ein \(r >0\) existiert, so dass \(U_r(a)\subset U\) gilt mit \(U_r(a)=\{ x\in X| d(a,x)<r\}\).

Betrachte nun \(U_r(a)\cap Y=\{ y\in Y| d'(a,y)<r\}\). Es ist klar, dass jedes Element aus \(U_r(a)\cap Y\) auch in \(V=U\cap Y\) enthalten ist bzw. \((U_r(a)\cap Y)\subset (U\cap Y)=V\)

Für das beliebige \(a\in V\) konnte somit eine Zahl \(r>0\) gefunden werden, so dass \(V_r(a)=U_r(a)\cap Y \subset V\) gilt, somit ist \(V\) offen in \(Y\).


"\(\Rightarrow\)"

Bin ich dran gescheitert, aber hier auf Englisch:
https://math.stackexchange.com/questions/1643156/for-u-subseteq-y-subseteq-x-prove-that-u-is-open-in-y-iff-there-is-a-v-s?rq=1

Achtung U und V sind im Link vertauscht.

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