Meine Aufgabe ist folgende:
Es sei \( X>0 \) eine Zufallsvariable, so dass \( X \) und \( \log (X) \) integrierbar sind. Zeigen Sie
$$ \exp (\mathbb{E}(\log X)) \leq \mathbb{E}(X) $$
Folgern Sie die Ungleichung zwischen dem geometrischen und arithmetischen Mittel, d. h. für \( x_{1}, \ldots, x_{n}>0 \) gilt
$$ \left(\prod \limits_{k=1}^{n} x_{k}\right)^{1 / n} \leq \frac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} x_{k} $$
Ansatz: Die Ungleichung zwischen dem geometrischen und arithmetischen Mittel bekommt man dann, wenn man einfach X nimmt, die nur Werte x1 bis xn alle mit W-keit 1/n annimmt. Hierzu kann man die Jensengleichung in Betracht ziehen. Allerdings bin ich sicher, wie man das auf meine Aufgabe übertragen kann
Wisst ihr, wie man das zeigt und diese Ungleichung daraus folgert?