Aloha :)
Das Vektorfeld \(\vec g\) besitzt genau dann ein Potential, wenn seine Rotation verschwindet:
$$\vec 0\stackrel{!}{=}\begin{pmatrix}\partial_1\\\partial_2\\\partial_3\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-7x_1^5+6x_1^4x_3\\ax_2^3\\ax_1^5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0-0\\6x_1^4-5ax_1^4\\0-0\end{pmatrix}\quad\Leftrightarrow\quad a=\frac{6}{5}$$