Aloha :)
Wir betrachten die Folge:$$a_n=(-1)^n+\frac{n^{11}-1}{n^{11}}=(-1)^n+\frac{n^{11}}{n^{11}}-\frac{1}{n^{11}}=(-1)^n+1-\frac{1}{n^{11}}$$Der Summand \((-1)^n\) stört uns. Wir wissen aber, dass \((-1)^n=1\) für gerade \(n\) und \((-1)^n=-1\) für ungerade \(n\) gilt. Daher können wir die Folge umschreiben:$$a_n=\left\{\begin{array}{cl}2-\frac{1}{n^{11}} &\text{falls \(n\) gerade}\\[1ex]-\frac{1}{n^{11}} &\text{falls \(n\) ungerade}\end{array}\right.$$
Zur Untersuchung der Beschränktheit müssen wir uns überlegen, welche Werte \(\left(-\frac{1}{n^{11}}\right)\) annimmt. Da die Folge bei \(n=1\) beginnt, ist \(n\ge1\) sodass:$$n\ge1\implies n^{11}\ge1^{11}=1\implies\frac{1}{n^{11}}\le1\implies-\frac{1}{n^{11}}\ge-1$$Damit können wir die Folgenglieder einschränken:
$$\text{\(n\) gerade:}\;\,\quad-1\le-\frac{1}{n^{11}}<0\implies2-1\le2-\frac{1}{n^{11}}<2\implies1\le a_n<2$$$$\text{\(n\) ungerade:}\;-1\le-\frac{1}{n^{11}}<0\implies-1\le a_n<0$$
Für alle Folgenglieder gilt also: \(-1\le a_n<2\). Die Folge ist daher beschränkt.
Für gerade \(n\) strebt die Folge \((a_n)\) gegen \(2\) und für ungerade \(n\) strebt sie gegen \(0\), daher existiert kein gemeinsamer Grenzwert.
